- 弦切角的性质
- 共102题
如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：
（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD．
正确答案
证明：（1）连接OP，
因为AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，
从而OP⊥l．
因为P在⊙O上，
所以l是⊙O的切线．
（2）连接AP，
因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD=∠BAP．
又∠BPD+∠PBD=90°，
∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，
即PB平分∠ABD．
（选做题）如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E，
(1)求证：AE=AD；
(2)若AB=6，BC=4，求AE。
正确答案
（1）证明：∵BD ∥MN，
∴
又∵MN为圆的切线，
∴
∴∠DCN=∠CAD，
∴
∴
又
∴
∴AE=AD。
（2）解：
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=BC=4，
设AE=x，易证
又
所以
如图：
已知圆上的弧
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE×CD．
正确答案
（Ⅰ）因为
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故
即BC2=BE×CD．（10分）
（选做题）如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E，
(1)求证：AE=AD；
(2)若AB=6，BC=4，求AE。
正确答案
（1）证明：∵BD ∥MN，
∴
又∵MN为圆的切线，
∴
∴∠DCN=∠CAD，
∴
∴
又
∴
∴AE=AD。
（2）解：
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=BC=4，
设AE=x，易证
又
所以
（选做题）
如图，ABCD是圆的内接四边形，AB∥CD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，
证明：（Ⅰ）∠DBC=∠AEC；
（Ⅱ）BC2=BE·CD。
正确答案
证明：（Ⅰ）因为
所以
又因为
所以
因为
所以
所以
故
（Ⅱ）
所以
又因为
所以
故
即
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