- 空间两点间的距离
- 共401题
如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角.
(1)求BC的长度;
(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的张角分别为,
,问点P在何处时,
最小?
正确答案
(1);(2)
在距离
时,
最小
试题分析:(1)由题意不难想到作 于
,这样能将条件很好的集中在
和
中,不妨设出一长度和角度,即设
,在上述两直角三角形中,由直角三角形中正切的含义即
,这样就可得到关于
的一元二次方程,就可解得
值; (2)先在图中含有
和
的两个直角三角形中,得到
,再由两角和的正切公式
可求出
关于
的表达式,通过化简得
,结合基本不等式可求出它的最小值,并由基本不等式成立的条件得到此时
的值,即可确定出
的位置.
试题解析:解:(1)如图作 于
.
.
设 ,
.
在 和
中,
4分
化简整理得 ,
解得 .
的长度是
. 7分
(2)设 ,所以
9分
则 14分
当且仅当
,即
时,
最小. 15分
答: 在距离
时,
最小. 16分
A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为 .
正确答案
试题分析:由点P在z轴上设,又由
可得
解得:故点P的坐标为
(理)已知⊙:
和定点
,由⊙
外一点
向⊙
引切线
,切点为
,且满足
.
(1)求实数间满足的等量关系;
(2)求线段长的最小值;
(3)若以为圆心所作的⊙
与⊙
有公共点,试求半径取最小值时的⊙
方程.
正确答案
(1);(2)
;(3)
试题分析:(1)连接OP,OQ,
则,在
中,
,且
,结合两点之间距离公式可得关于
的等式;(2)在
中,
,是含有
的二元函数,结合(1)可得关于
的一元函数,求其最小值即可;(3)方法一:因为⊙
与⊙
有公共点,则得圆心距和其半径的关系
即
,要求半径
的最小值,只需
最小,将
用两点之间距离公式表示出来,求其最小值并求取的最小值时
,得⊙
的圆心,进而求出圆的标准方程;方法二:由(1)知⊙
的圆心的轨迹方程为
:
,过点
作垂直于
的垂线,垂足为
,当两圆外切且以
为圆心时,半径最小,此时
,两条直线求交点确定圆心,从而求出圆的 标准方程.
试题解析:(1)连为切点,
,由勾股定理有
,又由已知
,故
.即:
,化简得实数a、b间满足的等量关系为:
;(2)由
,得
,
=
,故当
时,
即线段PQ长的最小值为
;
(3)方法一:设圆P的半径为,
圆P与圆O有公共点,圆O的半径为1,
即
且
,而
,故当
时,
此时,
,
,得半径取最小值时圆P的方程为
.
方法二:圆与圆
有公共点,圆
半径最小时为与圆外
切(取小者)的情形,而这些半径的最小值为圆心
到直线
的距离减去1,圆心为
过原点与
垂直的直线
与
的交点
,
,又
:x-2y = 0,解方程组
,得
.即
,∴所求圆方程为
.
在斜三棱柱A1B1C1—ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点,求证:AD⊥CC1;
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C;
(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗?请你叙述判断理由.
正确答案
(1)证明略 (2)证明略(3)结论是肯定的
(1)证明: ∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥平面BB1C1C,∴AD⊥侧面BB1C1C
∴AD⊥CC1.
(2)证明: 延长B1A1与BM交于N,连结C1N
∵AM=MA1,∴NA1=A1B1
∵A1B1=A1C1,∴A1C1=A1N=A1B1
∴C1N⊥C1B1
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C,∴C1N⊥侧面BB1C1C
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
(3)解: 结论是肯定的,充分性已由(2)证明,下面证必要性.
过M作ME⊥BC1于E,∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C
∴ME⊥侧面BB1C1C,又∵AD⊥侧面BB1C1C.
∴ME∥AD,∴M、E、D、A共面
∵AM∥侧面BB1C1C,∴AM∥DE
∵CC1⊥AM,∴DE∥CC1
∵D是BC的中点,∴E是BC1的中点
∴AM=DE=AA1,∴AM=MA1.
在轴上与点
和点
等距离的点
的坐标为 .
正确答案
试题分析:设轴上的点为
,
,解得:
.
扫码查看完整答案与解析