热门试卷

（1）证明：连AC，设AC∩BD=O，连A1O，OE．

由A1A⊥面ABCD，知BD⊥A1A，又BD⊥AC，

故BD⊥面ACEA1．

由A1E⊂面ACEA1，得A1E⊥BD．

（2）解：在正△A1BD中，BD⊥A1O，而BD⊥A1E，

又A1O⊂面A1OE，A1E⊂平面A1OE，且A1O∩A1E=A1，

故BD⊥面A1OE，于是BD⊥OE，∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．

正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，且E为棱CC1的中点，

由平面几何知识得EO=，，A1E=3a，

满足，故EO⊥C1O．

由EO⊥BD，知EO⊥面A1BD，

故∠EA1O是直线A1E与平面A1BD所成角．

又sin∠EA1O=，

故直线A1E与平面A1BD所成角的正弦是．

解：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连结NE，CE．∵N为PA中点，∴NE，

又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC．

∴NEMC，即MNEC为平行四边形，…（4分）

∴MN∥CE∵EC⊂平面PCD，且MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD．      …（7分）

（其它证法酌情给分）

（Ⅱ）方法一：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，

过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．

则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，…（10分）

由AB=1，，AD=2，得AC⊥CD，

由AC•CD=AD•MF，得，

在Rt△AMN中，AM=AN=1，得．

在Rt△MNF中，，∴，

直线MN与平面PAD所成角的正切值为． …（15分）

方法二：∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA⊥AC，

又∵AB=1，，BC=AD=2，∴AB2+AC2=BC2，AB⊥AC．      …（9分）

如图，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系A-xyz，

则，N（0，0，1），P（0，0，2），，∴，，，…（11分）

设平面PAD的一个法向量为，则

由，令y=1得，…（13分）

设MN与平面PAD所成的角为θ，则，∴MN与平面PAD所成角的正切值为．…（15分）

解：（1）∵PA=PC，∴PF⊥AC．

∵点E为点P在平面ABC上的正投影，∴PE⊥平面ABC，

∴PE⊥AC．

∵PF∩PE=P．PF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，

∴AC⊥平面PEF．

（2）∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1．

∴．

∴AD=CD=AC=2．

∵PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC．

∵BC⊥AB，PE∩AB=E，PE⊂平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，

∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．

在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，

∴．

∵0°＜∠CPB＜90°，∴∠CPB=30°．

∴直线PC与平面PAB所成的角为 30°．