- 直线与平面所成的角
- 共1178题
（1）求证：BD1∥平面EAC；
（2）求证：平面EAC⊥平面BB1D1D；
（3）求直线BF与平面BB1D1D所成角的正弦值．
正确答案
解：（1）连接BD交AC于O，连接EO，
∵E、O分别为D1D、BD的中点，
∴EO∥D1B，
又EO⊂平面EAC，D1B⊄平面EAC，
∴D1B∥平面EAC．
（2）∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，
又∵在正方形ABCD中，BD⊥AC，
∴AC⊥平面BB1D1D．
又AC⊂平面EAC
∴平面EAC⊥BB1D1D．
（3）∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴BB1⊥平面A1B1C1D1
∴平面A1B1C1D1⊥平面BB1D1D，
平面A1B1C1D1∩平面BB1D1D=B1D1，
作FG⊥B1D1于G，∴FG⊥平面BB1D1D，
连接BG，∴BG是BF在平面BB1D1D上的射影，
∴∠FBG是直线BF与平面BB1D1D所成角．
设正方体棱长为a，在Rt△FGB1中，
在Rt△BB1F中，
即直线BF与平面BB1D1D所成角的正弦值为
解析
解：（1）连接BD交AC于O，连接EO，
∵E、O分别为D1D、BD的中点，
∴EO∥D1B，
又EO⊂平面EAC，D1B⊄平面EAC，
∴D1B∥平面EAC．
（2）∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，
又∵在正方形ABCD中，BD⊥AC，
∴AC⊥平面BB1D1D．
又AC⊂平面EAC
∴平面EAC⊥BB1D1D．
（3）∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴BB1⊥平面A1B1C1D1
∴平面A1B1C1D1⊥平面BB1D1D，
平面A1B1C1D1∩平面BB1D1D=B1D1，
作FG⊥B1D1于G，∴FG⊥平面BB1D1D，
连接BG，∴BG是BF在平面BB1D1D上的射影，
∴∠FBG是直线BF与平面BB1D1D所成角．
设正方体棱长为a，在Rt△FGB1中，
在Rt△BB1F中，
即直线BF与平面BB1D1D所成角的正弦值为
A{t|
B{t|
C{t|2
D{t|2
正确答案
解析
解：
分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则
∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，
∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，
∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线
∴平面A1MN∥平面D1AE，
由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．
设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ
运动点F并加以观察，可得
当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ=
当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ=
∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2
故选：D
在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=4，CD=BC=4，PA=4，AB⊥BC，PA⊥CD，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）证明：PC⊥BD；
（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
正确答案
证明：（1）底面ABCD的图形中：AB=AD=4，CD=BC=4，AB⊥BC，
利用平面几何知识得出：BD=4，AC=8，BD⊥AC，
∵AB⊥BC，BC⊂平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD，
平面PAB⊥平面ABCD，
∴BC⊥平面PAB，
∵PA⊂平面PAB，
∴PA⊥BC，
∵PA⊥CD，BC∩CD=C，
∴PA⊥面ABCD，
又∵BD⊂面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵BD⊥AC，PA∩AC=A，
∴BD⊥面PAC，
∵PC⊂面PAC，
∴PC⊥BD；
（2）建立坐标系如图；A（0，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），B（6，2，0），C（4，4，0），
∴=（6，2，-4），=（-2，2，0），=（0，4，-4），
设平面PBC的法向量为=（x1，y1，z1），
∵
∴
求解得出=（3，6），
∵与=（3，6），夹角为α，直线PD与平面PBC所成角为θ
则cosα=
∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值sinθ=|cosα|=
解析
证明：（1）底面ABCD的图形中：AB=AD=4，CD=BC=4，AB⊥BC，
利用平面几何知识得出：BD=4，AC=8，BD⊥AC，
∵AB⊥BC，BC⊂平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD，
平面PAB⊥平面ABCD，
∴BC⊥平面PAB，
∵PA⊂平面PAB，
∴PA⊥BC，
∵PA⊥CD，BC∩CD=C，
∴PA⊥面ABCD，
又∵BD⊂面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵BD⊥AC，PA∩AC=A，
∴BD⊥面PAC，
∵PC⊂面PAC，
∴PC⊥BD；
（2）建立坐标系如图；A（0，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），B（6，2，0），C（4，4，0），
∴=（6，2，-4），=（-2，2，0），=（0，4，-4），
设平面PBC的法向量为=（x1，y1，z1），
∵
∴
求解得出=（3，6），
∵与=（3，6），夹角为α，直线PD与平面PBC所成角为θ
则cosα=
∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值sinθ=|cosα|=
（1）求侧棱与底面所成角；
（2）求制造这个塔顶需要多少铁板？
正确答案
解：（1）如图所示，设正四棱锥S-ABCD中，连结AC和BD交于O，连接SO．
∵SO⊥ABCD，可得OA是侧棱SA在底面ABCD内的射影
∴∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角
Rt△SOA中，SO=
∴tan∠SAO=
因此，∠SAO=arctan
（2）作SP⊥AB于P，连接OP．
∵在Rt△SOP中，SO=
∴SP=
则△SAB的面积S=
∴四棱锥的侧面积是4×2
即制造这个塔顶需要8
解析
解：（1）如图所示，设正四棱锥S-ABCD中，连结AC和BD交于O，连接SO．
∵SO⊥ABCD，可得OA是侧棱SA在底面ABCD内的射影
∴∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角
Rt△SOA中，SO=
∴tan∠SAO=
因此，∠SAO=arctan
（2）作SP⊥AB于P，连接OP．
∵在Rt△SOP中，SO=
∴SP=
则△SAB的面积S=
∴四棱锥的侧面积是4×2
即制造这个塔顶需要8
（1）求证BD1⊥AC；
（2）求直线A1B与平面BB1D1D所成角的正弦值．
正确答案
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），D1（0，0，1）…（2分）
∴
∴
∴BD1⊥AC…（5分）
（2）∵
∴
∴BD⊥AC，…（7分）
∵BD∩BD1=B，
∴
∴
∵cosθ=
∴直线A1B与平面BB1D1D所成角的正弦值为
解析
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），D1（0，0，1）…（2分）
∴
∴
∴BD1⊥AC…（5分）
（2）∵
∴
∴BD⊥AC，…（7分）
∵BD∩BD1=B，
∴
∴
∵cosθ=
∴直线A1B与平面BB1D1D所成角的正弦值为
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