直线与平面所成的角
共1178题

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题型：填空题

填空题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，侧棱PA⊥底面ABCD，若AB=BC=，则CD与平面PAC所成的角为______．

正确答案

90°

解析

解：由题意，AB=BC=，∠ABC=90°，

∴AC=BC，AD=2BC，∠CAD=45°

∴∠ACD=90°

∴CD⊥AC

∵侧棱PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD

∴CD⊥PA

∵PA∩AC=A

∴CD⊥平面PAC

∴CD与平面PAC所成的角为90°

故答案为：90°

题型：简答题

简答题

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线EF与平面ABE所成角的大小．

正确答案

解：（Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NF∥AD，且NF=，ME∥AD，且ME=，所以NF∥ME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形；

∴EF∥MN，又EF⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB；

（Ⅱ）由已知：底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直；

如图所示，以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，所以：

P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），；

∴，；

设平面ABE法向量，则；

∴令b=1，则c=-1，a=0；

∴为平面ABE的一个法向量；

设直线EF与平面ABE所成角为α，于是：

；

所以直线EF与平面ABE所成角为．

解析

解：（Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NF∥AD，且NF=，ME∥AD，且ME=，所以NF∥ME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形；

∴EF∥MN，又EF⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB；

（Ⅱ）由已知：底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直；

如图所示，以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，所以：

P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），；

∴，；

设平面ABE法向量，则；

∴令b=1，则c=-1，a=0；

∴为平面ABE的一个法向量；

设直线EF与平面ABE所成角为α，于是：

；

所以直线EF与平面ABE所成角为．

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，∠BAD=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=AD，E，F分别为AD，PC的中点．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAB

（Ⅱ）求证：EF⊥平面PBD

（Ⅲ）若AB=2，求直线AD与平面PBD所成的角的正弦值．

正确答案

（I）证明：设PA=PB=AB=AD=1，则

BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos60°=3，

故BD2+AB2=AD2，∴BD⊥AB

而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

∴BD⊥平面PAB； …（4分）

（II）证明：设点G是PB的中点，连结AG，FG，

则FG∥BC∥AE，FG=BC=AE

∴四边形AEFG是平行四边形

故AG∥EF …（6分）

∵BD⊥平面PAB，∴平面PBD⊥平面PAB，

在正三角形PAB中，AG⊥PB，故AG⊥平面PBD，…（7分）

而AG∥EF，∴EF⊥平面PBD …（8分）

（Ⅲ）解：连结GD，由（ II）知：AG⊥平面PBD，

故∠ADG就是直线AD与平面PBD所成的角 …（10分）

∵AB=2，AD=4，在正三角形PAB中，AG=，

∴sin∠ADG==，故所求角的正弦值为 …（12分）

解析

（I）证明：设PA=PB=AB=AD=1，则

BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos60°=3，

故BD2+AB2=AD2，∴BD⊥AB

而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

∴BD⊥平面PAB； …（4分）

（II）证明：设点G是PB的中点，连结AG，FG，

则FG∥BC∥AE，FG=BC=AE

∴四边形AEFG是平行四边形

故AG∥EF …（6分）

∵BD⊥平面PAB，∴平面PBD⊥平面PAB，

在正三角形PAB中，AG⊥PB，故AG⊥平面PBD，…（7分）

而AG∥EF，∴EF⊥平面PBD …（8分）

（Ⅲ）解：连结GD，由（ II）知：AG⊥平面PBD，

故∠ADG就是直线AD与平面PBD所成的角 …（10分）

∵AB=2，AD=4，在正三角形PAB中，AG=，

∴sin∠ADG==，故所求角的正弦值为 …（12分）

题型：单选题

单选题

一条直线与平面所成的角为θ （0＜θ＜），则此直线与这个平面内任意一条直线所成角中最大角是（　　）

Bπ

Cπ-θ

Dθ

正确答案

解析

证明：已知AB是平面a的斜线，A是斜足，BC⊥平面a，C为垂足，

则直线AC是斜线AB在平面a内的射影．

设AD是平面a内的任一条直线，且BD⊥AD，垂足为D，

又设AB与AD所成的角∠BAD，AB与AC所成的角为∠BAC．

BC⊥平面a mBD⊥AD 由三垂线定理可得：DC⊥AC

sin∠BAD=，sin∠BAC=

在Rt△BCD中，BD＞BC，

∠BAC，∠BAD是Rt△内的一个锐角所以∠BAC＜∠BAD．

从上面的证明过程我们可以得到最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最大的角为90°，

由已知中直线与一个平面成θ角，

则这条直线与这个平面内不经过斜足的直线所成角的为范围（θ≤r≤）

故选A．

题型：简答题

简答题

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．求证：

（1）AC1∥平面B1CD；

（2）DB1与平面BCC1B1所成角的正切值．

正确答案

证明：（1）设BC1交B1C与E，连接DE．

∵E，D分别为BC1，AB的中点，

∴DE∥AC1，又DE⊂平面B1CD，AC1⊂平面B1CD，

∴AC1∥平面B1CD；

（2）取BC中点F，连DF，B1F

∵直三棱柱ABC-A1B1C1∴CC1⊥AC

又AC=3，BC=4，AB=5知AC⊥BC∴AC⊥面BCC1B1

又F为BC中点，D为AB中点∴DF∥AC

∴DF⊥面BCC1B1

∴DB1在平面BCC1B1内的射影为FB1

∴DB1与平面BCC1B1的所成角为∠DB1F．

在RT△FB1B中，B1B=4，BF=2，

∴B1F=2，

又DF=

∴在RT△DFB1中，tan∠DB1F===．

解析

证明：（1）设BC1交B1C与E，连接DE．

∵E，D分别为BC1，AB的中点，

∴DE∥AC1，又DE⊂平面B1CD，AC1⊂平面B1CD，

∴AC1∥平面B1CD；

（2）取BC中点F，连DF，B1F

∵直三棱柱ABC-A1B1C1∴CC1⊥AC

又AC=3，BC=4，AB=5知AC⊥BC∴AC⊥面BCC1B1

又F为BC中点，D为AB中点∴DF∥AC

∴DF⊥面BCC1B1

∴DB1在平面BCC1B1内的射影为FB1

∴DB1与平面BCC1B1的所成角为∠DB1F．

在RT△FB1B中，B1B=4，BF=2，

∴B1F=2，

又DF=

∴在RT△DFB1中，tan∠DB1F===．

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