热门试卷

解：（1）根据已知条件，在△A1BC中，BC=，A1B=1，A1C=2；

∴；

∴A1B⊥BC；

又A1B⊥BD，BD∩BC=B；

∴A1B⊥平面BCD，A1B⊂平面A1BD；

∴平面A1BD⊥平面BCD；

（2）以BD的垂线，BD，BA1三直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

B（0，0，0），C（1，，0），D（0，，0），A1（0，0，1）；

∴，；

∴；

∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为；

（3）为平面BCD的一条法向量，E在线段A1C上；

∴设E（x，x，1-x），x∈[0，1]；

∴；

∵DE与平面BCD所成的角正弦值为；

∴=；

解得x=，或2（舍去）；

∴；

即当线段EC=时，DE与平面BCD所成的角正弦值为．

解：（Ⅰ）证明：E为BD1的中点，F为AB的中点；

∴EF为△ABD1的中位线；

∴EF∥AD1，AD1⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1；

∴EF∥平面ADD1A1；

（Ⅱ）AB∥CD，AB=2DC，F为AB中点；

∴DC∥FB，且DC=FB；

∴四边形DCBF为平行四边形；

∴DF=CB，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°；

∴△ADF为等边三角形，∠ADF=60°；

取AF中点G，连接DG，则∠GDC=90°；

即DG⊥DC，又DD1⊥底面ABCD；

∴DG，DC，DD1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

，；

∴，；

设平面DEF的法向量为，则：；

∴，取z=1，则；

设A1F和平面DEF所成角为θ，则sinθ==；

∴A1F和平面DEF所成角的正弦值为．

解（1）菱形ABCD⇒AC⊥BD，PA⊥面ABCD⇒PA⊥BD，

又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，又AE⊂面PAC，所以BD⊥AE；

（2）连接AC交BD于点O，以O为圆心，OA，OB分别为x，y轴，建立如图所示空间坐标系，

如图示：

，

设AB=2，则，B（0，1，0），D（0，-1，0），，

设，，

AE⊥平面PBD，，则，；

（3）因为AE⊥平面PBD，

所以AE是平面PBD的一个法向量，取

设AD与平面PBD所成角为θ，

则．