直线与平面所成的角
共1178题

· 直线与平面所成的角

直线与平面所成的角
共1178题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：单选题

单选题

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过A点作面A1BD的垂线，垂足为P．则下列命题：

①P是△A1BD的重心；

②AP也垂直于面CB1D1；

③AP的延长线必通过点C1；

④AP与面AA1D1D所成角为45°．

其中，正确的命题是（　　）

A①②

B①②③

C②③④

D①③④

正确答案

解析

解：如图由正方体的性质知面A1BD与体对角线AC1垂直，三角形A1BD是一个正三角形，

故它们的交点也是三角形的中心，面A1BD与面CB1D1是平行的关系，且它也是一个正三角形；

由此则可以判断①P是△A1BD的重心是正确的；

②AP也垂直于面CB1D1正确；

③AP的延长线必通过点C1；正确；

④AP与面AA1D1D所成角为45°不正确，因为该线面角是∠C1AD，其不是一个等腰直角三角形，

故选B．

题型：单选题

单选题

在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长都相等点E是边AB的中点，则直线C1E与平面BB1CC1所成角的正切值为（　　）

正确答案

解析

解：如下图所示：过点E作EF⊥BC于点F，连接FC1，

因为BB1∥AA1，AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC，

BB1⊂面BC1，所以面BB1⊥底面ABC，

所以EF⊥面BC1，则∠EC1F即为直线C1E与平面BB1CC1所成角，

设各棱长为1，在Rt△EFB中，EF=BE•sin∠EBF=×sin60°=，BF=BE•cos∠EBF=cos60°=，

在Rt△C1CF中，==，

所以tan∠EC1F===．

故选A．

题型：简答题

简答题

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．

（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）求直线B1C1与平面A1BD所成角的正弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明：由正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等可知：AB1⊥A1B

如图，取BC的中点E，连接B1E，则Rt△BCD≌Rt△B1BE

∴∠BB1E=∠CBD

∴∠CBD+∠BEB1=∠BB1E+∠BEB1=90°

∴BD⊥B1E

由平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC1B1

∴AE⊥BD

∵B1E⊂平面AEB1，AE⊂平面AEB1，AE∩B1E=E

∴BD⊥平面AEB1

∴BD⊥AB1

∵A1B⊂平面A1BD，BD⊂平面A1BD，A1B∩BD=B

∴AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）解：设AB1∩A1B=O，延长BD，B1C1，相交于F，连接OF，则∠OFB1为直线B1C1与平面A1BD所成角．

∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，

∴，B1F=4

∴sin∠OFB1==．

解析

（Ⅰ）证明：由正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等可知：AB1⊥A1B

如图，取BC的中点E，连接B1E，则Rt△BCD≌Rt△B1BE

∴∠BB1E=∠CBD

∴∠CBD+∠BEB1=∠BB1E+∠BEB1=90°

∴BD⊥B1E

由平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC1B1

∴AE⊥BD

∵B1E⊂平面AEB1，AE⊂平面AEB1，AE∩B1E=E

∴BD⊥平面AEB1

∴BD⊥AB1

∵A1B⊂平面A1BD，BD⊂平面A1BD，A1B∩BD=B

∴AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）解：设AB1∩A1B=O，延长BD，B1C1，相交于F，连接OF，则∠OFB1为直线B1C1与平面A1BD所成角．

∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，

∴，B1F=4

∴sin∠OFB1==．

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．

（Ⅰ）求证：OE∥平面PCD；

（Ⅱ）求直线CE与平面PDC所成角的正弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明：取CD中点F，连BF，AF，PF，∴AB=DF，∵AB∥DF，∴四边形ADFB是平行四边形，∴AF∩BD=O，且O为AF中点，

∴OE∥PF，PF⊂平面PCD，OE⊄平面PCD，∴OE∥平面PCD；

（Ⅱ）∵平行四边形ADFB中，AB=AD=2，AB⊥AD，∴四边形ADFB是正方形，

∴OD⊥OF，又PB=PD=2，O为BD的中点，

∴PO⊥OD，

同理PO⊥AF，

∴PO⊥平面ABCD，

分别以OD，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图

可得平面PDC的一个法向量为，=（），所以直线CE的一个方向向量为，

设所求线面角为θ，所以；

所以直线CE与平面PDC所成角的正弦值为．

解析

（Ⅰ）证明：取CD中点F，连BF，AF，PF，∴AB=DF，∵AB∥DF，∴四边形ADFB是平行四边形，∴AF∩BD=O，且O为AF中点，

∴OE∥PF，PF⊂平面PCD，OE⊄平面PCD，∴OE∥平面PCD；

（Ⅱ）∵平行四边形ADFB中，AB=AD=2，AB⊥AD，∴四边形ADFB是正方形，

∴OD⊥OF，又PB=PD=2，O为BD的中点，

∴PO⊥OD，

同理PO⊥AF，

∴PO⊥平面ABCD，

分别以OD，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图

可得平面PDC的一个法向量为，=（），所以直线CE的一个方向向量为，

设所求线面角为θ，所以；

所以直线CE与平面PDC所成角的正弦值为．

题型：简答题

简答题

如图，已知四棱锥A-BCDE，其中AB=CD=2BE=2，AC=BC=2，CD⊥平面ABC，BE∥CD，F为DA的中点．

（1）求证：EF∥平面ABC

（2）求直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值．

正确答案

（1）证明：取AC中点G，连结FG，BG．

∵F为AD的中点，∴FG∥CD，FG=．

又BE∥CD，BE=，

∴四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG．

EF⊄面ABC，BG⊂面ABC，∴EF∥平面ABC．

（2）解：∵AC=BC=2，AB=，AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又CD⊥面ABC，∴CD⊥BC，CD⊥AC．

以C为坐标原点，以CB、CA、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

则B（2，0，0），D（0，0，2），A（0，2，0），E（2，0，）．

∴，，．

设平面AED的一个法向量为．

由⇒⇒，

取z=1，得y=，x=．

∴．

∴直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值

sinθ==||=．

解析

（1）证明：取AC中点G，连结FG，BG．

∵F为AD的中点，∴FG∥CD，FG=．

又BE∥CD，BE=，

∴四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG．

EF⊄面ABC，BG⊂面ABC，∴EF∥平面ABC．

（2）解：∵AC=BC=2，AB=，AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又CD⊥面ABC，∴CD⊥BC，CD⊥AC．

以C为坐标原点，以CB、CA、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

则B（2，0，0），D（0，0，2），A（0，2，0），E（2，0，）．

∴，，．

设平面AED的一个法向量为．

由⇒⇒，

取z=1，得y=，x=．

∴．

∴直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值

sinθ==||=．

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 平面与平面垂直的判定与性质

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与平面所成的角

扫码查看完整答案与解析