热门试卷

（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，

∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；

（2）在边BC上假设存在一点G，使得PD与平面PAG所成的正弦是．

过D作DO⊥平面PAG，垂足为O，连接PO，

则∠DPO为PD与平面PAG所成的角．

设BG=x，则△ADG的面积为1，AG=，

直角三角形PAG的面积为，

在直角三角形PAD中，PD=，

由sin∠DPO=，得DO=PDsin∠DPO=1．

由等积法，得VP-ADG=VD-PAG，即PA•S△ADG=DO•S△PAG，

1=，解得x=．

故在边BC上一点G，使得BG=，PD与平面PAG所成的正弦是．

解：（1）∵PA=PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PE⊥平面ABCD．

（2）以E为原点、EA、EB、EP分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示

则E（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，），B（0，，0），

M（，，），

∴=（，，），平面ABCD的法向量为==（0，0，），

∴=，||=

cos＜，＞==

设直线BM与平面ABCD所成角为θ，

sinθ=，cosθ=，tanθ=

解：（1）如图1过点B作BH⊥AC于点H，连接SH．

∵SO⊥平面ABC，BH⊂平面ABC，

∴BH⊥SO．

又SO∩AC=O，

∴BH⊥平面SAC，

即∠BSH就是直线SB与平面SAC所成角．

在△ABC中，∵AB⊥BC，AC=4，BC=2，

∴∠ACB=60°，．

在Rt△BSH中，∵SB=4，

∴，

即直线SB与平面SAC所成角的正弦值为．

（2）由（1）知，几何体SABC的正视图中，△S1A1B1的边，

而HC=2cos60°=1，∴．

又△S1A1B1的边A1B1上的高等于几何体SABC中SO的长，而SA=SC=AC=4，∴SO=，

∴．

（3）存在．

证明如下：

如图2，连接BO并延长交弧AC于点M，

在底面内，过点A作AP⊥BM交弧AC于点P．          

∵SO⊥平面ABC．

而AP⊂平面ABC，∴AP⊥SO．         

又∵AP⊥BM，SO∩BM=O，

∴AP⊥平面SOB，从而AP⊥SB． 

又∵AO=OC=BC=2，∴∠AOM=∠BOC=∠ACB=60°，

∴∠AOM=∠POM=60°，∠AOP=120°，

即点P位于弧AC的三等分的位置，且∠AOP=120°．