- 直角三角形的射影定理
- 共75题
如图圆O的半径为3，∠BAC=30°，则弦BC=______．
正确答案
3
解析
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=3．
故答案为：3．
正确答案
60°
解析
则由OA⊥PA，OB⊥PB
∴∠P=180°-∠AOB
∵∠ACB=120°，
∴劣弧
∴∠AOB=120°
∴∠P=60°
故答案为：60°
在△ABC中，I是内心，∠BIC=140°，则∠A的度数是______．
正确答案
100°
解析
∴∠IBC=
△IBC中，∠BIC=140°；
∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=40°；
∴∠ABC+∠ACB=80°；
∴∠BAC=180°-80°=100°．
故答案为：100°．
正确答案
∵OM⊥CD，∴CM=DM，
∵△OAB为等腰三角形，∴AM=BM，
∴AC=BD．
解析
∵OM⊥CD，∴CM=DM，
∵△OAB为等腰三角形，∴AM=BM，
∴AC=BD．
正确答案
80°
解析
∴∠E=180°-∠A=80°，
又CD是⊙O的切线，T为切点，
∴∠DTB=∠E=80°．
故答案为：80°．
求证：直线PC经过点E．
正确答案
证明：连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点
则∠AOE=∠BOE=90°． 
因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，
所以
同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分线． …（8分）
又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合．
所以直线PC经过点E．…（10分）
解析
证明：连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点
则∠AOE=∠BOE=90°．
因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，
所以
同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分线． …（8分）
又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合．
所以直线PC经过点E．…（10分）
正确答案
95°
解析
解：连接OC，OB．
则OB⊥BE，OC⊥EF，
∴O，B，E，C四点共圆，
∵∠E=50°
∴∠BOC=130°．
∠A的度数是
故答案为：105°
正确答案
30
解析
∵AB切⊙O于C，
∴OC⊥AB；
∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，则EM=MF=
Rt△OEM中，EM=
则sin∠EOM=
∴∠EDC=
故答案为：30．
正确答案
证明：在线段AE上截取AF=BD，
圆周角相等，AC=BC，AF=BD，
∠CBD=∠CAD
△CAF≌△CBD，
∴CF=CD，
∵CE⊥AD于E
∴EF=DE
∴AE=BD+DE
解析
证明：在线段AE上截取AF=BD，
圆周角相等，AC=BC，AF=BD，
∠CBD=∠CAD
△CAF≌△CBD，
∴CF=CD，
∵CE⊥AD于E
∴EF=DE
∴AE=BD+DE
△ABC中，∠A外角的平分线与此三角形外接圆相交于P，求证：BP=CP．
正确答案
证明：∠CBP=∠CAP=∠PAD
又∠1=∠2
由∠CAD=∠ACB+∠CBA
=∠ACB+∠CBP+∠2
=∠ACB+∠1+∠CBP
=∠BCP+∠CBP
∴∠BCP=∠CBP，
∴BP=CP．
解析
证明：∠CBP=∠CAP=∠PAD
又∠1=∠2
由∠CAD=∠ACB+∠CBA
=∠ACB+∠CBP+∠2
=∠ACB+∠1+∠CBP
=∠BCP+∠CBP
∴∠BCP=∠CBP，
∴BP=CP．
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