直角三角形的射影定理
共75题

直角三角形的射影定理
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题型：简答题

简答题

如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．

（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；

（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．

正确答案

证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，

∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，

∵∠PGD=∠EGA，

∴∠DBA=∠EGA，

∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，

∴∠BDA=∠PFA，

∵AF⊥EP，

∴∠PFA=90°．

∴∠BDA=90°，

∴AB为圆的直径；

（Ⅱ）连接BC，DC，则

∵AB为圆的直径，

∴∠BDA=∠ACB=90°，

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，

∴Rt△BDA≌Rt△ACB，

∴∠DAB=∠CBA，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠CBA，

∴DC∥AB，

∵AB⊥EP，

∴DC⊥EP，

∴∠DCE为直角，

∴ED为圆的直径，

∵AB为圆的直径，

∴AB=ED．

解析

证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，

∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，

∵∠PGD=∠EGA，

∴∠DBA=∠EGA，

∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，

∴∠BDA=∠PFA，

∵AF⊥EP，

∴∠PFA=90°．

∴∠BDA=90°，

∴AB为圆的直径；

（Ⅱ）连接BC，DC，则

∵AB为圆的直径，

∴∠BDA=∠ACB=90°，

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，

∴Rt△BDA≌Rt△ACB，

∴∠DAB=∠CBA，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠CBA，

∴DC∥AB，

∵AB⊥EP，

∴DC⊥EP，

∴∠DCE为直角，

∴ED为圆的直径，

∵AB为圆的直径，

∴AB=ED．

题型：简答题

简答题

如图，在半径为R的⊙O中，弦AB的长与半径R相等，C是优弧上一点，则∠ACB的度数是 ______度．

正确答案

解：连接OA、OB；

∵OA=OB=AB=R，

∴△OAB是等边三角形；

∴∠AOB=60°；

∴∠ACB=∠AOB=30°．

故答案为：30．

解析

解：连接OA、OB；

∵OA=OB=AB=R，

∴△OAB是等边三角形；

∴∠AOB=60°；

∴∠ACB=∠AOB=30°．

故答案为：30．

题型：单选题

单选题

如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP=3，BP=2，CP=1，则DP=（　　）

正确答案

解析

解：由相交弦定理得：

PA•PB=PC•PD，

∴DP===6．

故选D．

题型：填空题

填空题

如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，∠AED=25°，则∠OBA的度数是 ______．

正确答案

40°

解析

解：连接OA，

∵∠AED=25°，

∴∠AOD=50°，

∵OA=OB，OC⊥AB，

∴∠AOB=2∠AOD=2×50°=100°，

∴∠OAB=∠OBA===40°．

故答案为：40°．

题型：简答题

简答题

已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．

正确答案

解：设正三角形的边长为a，

则．

它的边长为18cm．

解析

解：设正三角形的边长为a，

则．

它的边长为18cm．

题型：填空题

填空题

如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD=130°，BC∥OD交⊙O于C，则∠A=______度．

正确答案

解析

解：∵∠AOD=130°，

∴∠BOD=50°；

∵BC∥OD，

∴∠B=∠BOD=50°；

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°；

∴∠A=90°-∠B=40°．

故答案为：40．

题型：简答题

简答题

如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD的中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE．

（Ⅰ）求证：AC为⊙O的直径．

（Ⅱ）求证：AG•EF=CE•GD．

正确答案

证明：（ I）连接DG，AB

∵AD为⊙M的直径

∴∠ABD=∠AGD=90°

在⊙O中，∠ABC=∠AEC=∠ABD=90°

∴AC为⊙O的直径． …（4分）

（ II）∵∠AEC=90°

∴∠CEF=90°

∵点G为弧BD的中点

∴∠GAD=∠GAB，

在⊙O中，∠BCE=∠GAB

∴△AGD∽△ECF

∴AG•EF=CE•GD…（10分）

解析

证明：（ I）连接DG，AB

∵AD为⊙M的直径

∴∠ABD=∠AGD=90°

在⊙O中，∠ABC=∠AEC=∠ABD=90°

∴AC为⊙O的直径． …（4分）

（ II）∵∠AEC=90°

∴∠CEF=90°

∵点G为弧BD的中点

∴∠GAD=∠GAB，

在⊙O中，∠BCE=∠GAB

∴△AGD∽△ECF

∴AG•EF=CE•GD…（10分）

题型：单选题

单选题

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上．如果∠P=50°，那么∠ACB等于（　　）

A40°

B50°

C65°

D130°

正确答案

解析

解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B

∴∠PBO=∠PAO=90°

∵∠P=50°，

∴∠AOB=130°

∴

故选C．

题型：填空题

填空题

（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连接BC与圆0交于F，若∠CFE=α（），则∠DEB______．

正确答案

解析

解：∵直径AB和弦DE互相垂直

∴AB平分DE

∴BD=BE，∠D=∠BED

∵DEFB四点共圆

∴∠EFC=∠D=α

∴∠DEB=α

故答案为：α

题型：填空题

填空题

在单位圆中，一条弦AB的长度为，则该弦AB所对的圆心角α是______rad．

正确答案

解析

解：由已知R=1，

∴sin==，

∴=，

∴α=π．

故答案为：π

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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