- 直角三角形的射影定理
- 共75题
如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=70°，CF是△ABC的边AB上的高，FP⊥BC于点P，FQ⊥AC于点Q，则∠CQP的大小为（ ）。
正确答案
50°
如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P在BC的延长线上，PA是圆O的切线，点A在直径BC上的射影是OC的中点，则∠ABP=（ ）；PB·PC=（ ）。
正确答案
30°；12
如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
正确答案
（Ⅰ）证明：连接DE，
根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB，
因此∠ADE=∠ACB，
所以C，B，D，E四点共圆。
（Ⅱ）解：m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12，
故AD=2，AB=12，
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，
两垂线相交于H点，连接DH，
因为C，B，D，E四点共圆，
所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，
由于∠A=90°，
故GH∥AB，HF∥AC，HF=AG=5，DF=
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BE·BD-AE·AC。
正确答案
解：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°
又EF⊥AB，∠EFA=90°，
则A，D，E，F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA。
（2）由（1）知，BD·BE=BA·BF，
又△ABC∽△AEF，
∴
即AB·AF=AE·AC
∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB（BF-AF）=AB2。
如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．
（1）求证：圆心O在直线AD上．
（2）求证：点C是线段GD的中点．
正确答案
证明：（Ⅰ）∵AB=AC，AF=AE
∴CD=BE
又∵CF=CD，BD=BE
∴CD=BD
又∵△ABC是等腰三角形，
∴AD是∠CAB的角分线
∴圆心O在直线AD上．
（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，
∴∠DHF=90°，
∴∠FDH+∠FHD=90°
又∵∠G+∠FHD=90°
∴∠FDH=∠G
∵⊙O与AC相切于点F
∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G
∴CG=CF=CD
∴点C是线段GD的中点．
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