- 圆的切线方程
- 共12题
16.如图，已知圆
（Ⅰ）圆
（Ⅱ）圆
正确答案
解析
设点
径
令
考查方向
解题思路
构造方程解答。 按步骤直接计算。
易错点
粗心算错。
知识点
4.在平面直角坐标系中，A和B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y－4=0相切，则圆C周长的最小值为（ ）
A
B
C2
D
正确答案
解析
设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D
∵∠AOB=90°，∴点O在圆C上，则点C与点O间的距离等于点C到直线2x+y-4=0的距离
∴点C在以O为焦点，以直线2x+y-4=0为准线的抛物线上
∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.
又|OD|=
∴圆C的半径最小为
∴圆C周长的最小值为2π×
知识点
6.已知方程x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0(k≠-1)当k取不同值时表示不同的圆的方程，则其中任意两圆（ ）
正确答案
解析
由于方程可变为(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2
则圆O1的圆心坐标为(-k1，-2k1-5)，半径为r1=
圆O2的圆心坐标为(-k2，-2k2-5)，半径为r2=
则r1+r2=
由于||k1+1|-|k2+1||≤|(k1+1)-(k2+1)|≤|k1+1|+|k2+1|，
若|(k1+1)-(k2+1)|=|k1+1|+|k2+1|，则(k1+1)(k2+1)<0，
若||k1+1|-|k2+1||=|(k1+1)-(k2+1)|，则(k1+1)(k2+1)>0，
也就是说当(k1+1)(k2+1)<0时，|(k1+1)-(k2+1)|=|k1+1|+|k2+1|，此时两圆外切.
当(k1+1)(k2+1)>0时，||k1+1|-|k2+1||=|(k1+1)-(k2+1)|，此时两圆内切.
也就是说||k1+1|-|k2+1||≤|(k1+1)-(k2+1)|≤|k1+1|+|k2+1|中仅有等号成立
要么左边等号成立，要么右边等号成立;不可能出现不等的情况.
知识点
如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
正确答案
见解析。
解析
解法一：
（1）
如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，
直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=
设点B的坐标为(a,b)，则k BC=
k AB=
解得a=80，b=120. 所以BC=
因此新桥BC的长是150 m.
（2）设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60)。
由条件知，直线BC的方程为
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以
故当d=10时,
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
解法二:
（1）
如图，延长OA, CB交于点F.
因为tan∠BCO=
因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=
CF=
因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==
又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==
因此新桥BC的长是150 m.
（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半
径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60)。
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，
故由（1）知，sin∠CFO =
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以
故当d=10时,
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
知识点
20.已知圆
（1）设点P
（2）求证Q在一定直线上。
正确答案
解析
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知识点
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