直线与平面垂直的判定与性质
共118题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知正方体，，为棱的中点。

（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）；

（2）求四面体的体积。

正确答案

（1）由知，

就是异面直线与所成角．

连接，在中，，

所以．

即异面直线与所成的角为；

（利用空间向量同样给分）

（2）算出的面积

到平面的距离就是三棱锥的高，．

该四面体的体积．

解析

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在四棱锥A—BCDE中，平面平面；，，，。

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面ABC所成的角的正切值。

正确答案

见解析

解析

证明：（1）连接，在直角梯形中，由，，得

由，得，即

又平面平面，从而平面

（2）在直角梯形中，由，得，

又平面平面，所以平面

做，与延长线交于，连接，则平面，所以是直线与平面所成的角

在中，由，得；

所以，直线与平面所成的角的正切值是

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点。

（1）证明：PB∥平面AEC；

（2）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点

∵E为PD的中点，∴EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；

（2）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，

∴AB=，作AH⊥PB角PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC。

又，A到平面PBC的距离

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，四棱锥的底面是正方形，平面，,

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成的角的大小.

正确答案

见解析

解析

（1）∵⊥平面

平面

∴CD⊥SD

又四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD

∴CD⊥平面SDA

平面

∴SA⊥CD.

（2）∵‖CD

∴或其补角是异面直线与所成角

由（1），BA⊥平面SDA，∴△SAB是直角三角形.

故异面直线SB与CD所成角的大小为.

知识点

异面直线及其所成的角直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

图4，PA垂直于⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB=2，，C是弧AB的中点.

（1）证明：BC平面PAC；

（2）证明：CFBP；

（3）求四棱锥C—AOFP的体积.

正确答案

见解析。

解析

（1）

证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊥平面ABC，

∴BC⊥PA.

∵△ACB是直径所对的圆周角，

∴，即BCAC.

又∵，∴平面.

（2）证明：∵PA⊥平面ABC，OC⊥平面ABC，

∴OC⊥PA.

∵C是弧AB的中点，

∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，

又O是AB的中点，∴OC⊥AB.

又∵，∴平面，又平面，

∴.

设BP的中点为E，连结AE，则，

∴.

∵，∴平面. 又平面，∴.

（3）解：由（2）知平面，∴是三棱锥的高，且.

又∵，

∴

又∵

∴四棱锥的体积

知识点

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