两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：简答题

简答题

已知函数（x∈R）．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求f（x）的最大值．

正确答案

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）=． …（4分）

（Ⅱ）+==． …（6分）

∵，

∴．

∴当时，即时，f（x）的最大值为1． …（8分）

解析

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）=． …（4分）

（Ⅱ）+==． …（6分）

∵，

∴．

∴当时，即时，f（x）的最大值为1． …（8分）

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x-）+cos2x-m，若f（x）的最大值为1．

（1）求m的值，并求f（x）的单调增区间；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，若f（B）=-1，且a=b+c，试判断三角形的形状．

正确答案

解：（1）∵f（x）=sin（2x+）+sin（2x-）+cos2x-m

=2sin2xcos+cos2x-m

=sin2x+cos2x-m=2sin（2x+）-m，

又f（x）的最大值为1，

∴2-m=1，解得m=1，

∴f（x）=2sin（2x+）-1．

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ得：-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．

∴f（x）的单调增区间为[-+kπ，+kπ]（k∈Z）；

（2）在△ABC中，∵f（B）=-1，∴2sin（2B+）-1=-1，即 sin（2B+）=，

∴2B+=，解得B=．

又 a=b+c，∴sinA=sinB+sinC=+sin（-A），化简可得 sin（A-）=，

∴A=，C=，

故△ABC为直角三角形．

解析

解：（1）∵f（x）=sin（2x+）+sin（2x-）+cos2x-m

=2sin2xcos+cos2x-m

=sin2x+cos2x-m=2sin（2x+）-m，

又f（x）的最大值为1，

∴2-m=1，解得m=1，

∴f（x）=2sin（2x+）-1．

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ得：-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．

∴f（x）的单调增区间为[-+kπ，+kπ]（k∈Z）；

（2）在△ABC中，∵f（B）=-1，∴2sin（2B+）-1=-1，即 sin（2B+）=，

∴2B+=，解得B=．

又 a=b+c，∴sinA=sinB+sinC=+sin（-A），化简可得 sin（A-）=，

∴A=，C=，

故△ABC为直角三角形．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若=（sin2，1），=（cos2A+，4），且∥．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）当a=，S△ABC=时，求边长b和角B的大小．

正确答案

解：（Ⅰ）∵∥，

∴4-cos2A-=0，

∴2[1-cos（B+C）]-cos2A-=0，

∴2+2cosA-（2cos2A-1）-=0，整理得：（2cosA-1）2=0，

∴cosA=，又A∈（0，π），

∴A=．

（Ⅱ）∵a=，A=，S△ABC=，

∴S△ABC=bcsinA=bc×=，

∴bc=2①

由余弦定理a2=b2+c2-2bcconA=b2+c2-2×2×=3得：b2+c2=5②

联立①②得：或．

∴若b=1，c=2，则△ABC为c是斜边长的直角三角形，故B=；

若若b=2，c=1，则△ABC为b是斜边长的直角三角形，故B=．

解析

解：（Ⅰ）∵∥，

∴4-cos2A-=0，

∴2[1-cos（B+C）]-cos2A-=0，

∴2+2cosA-（2cos2A-1）-=0，整理得：（2cosA-1）2=0，

∴cosA=，又A∈（0，π），

∴A=．

（Ⅱ）∵a=，A=，S△ABC=，

∴S△ABC=bcsinA=bc×=，

∴bc=2①

由余弦定理a2=b2+c2-2bcconA=b2+c2-2×2×=3得：b2+c2=5②

联立①②得：或．

∴若b=1，c=2，则△ABC为c是斜边长的直角三角形，故B=；

若若b=2，c=1，则△ABC为b是斜边长的直角三角形，故B=．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．

（1）求函数f（x）的最小正周期．

（2）求函数f（x）在区间[，]上的值域．

正确答案

解：（1）函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=2sinxcosx-2cos2x+1=sin2x-cos2x=．

∴T=．

（2）∵x∈[，]，∴．

∴，∴．

∴函数f（x）在区间[，]上的值域为．

解析

解：（1）函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=2sinxcosx-2cos2x+1=sin2x-cos2x=．

∴T=．

（2）∵x∈[，]，∴．

∴，∴．

∴函数f（x）在区间[，]上的值域为．

题型：简答题

简答题

已知函数．

（I）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可知

=2sinxcosx+2sin2x-1

=2sin（2x-）．

因为f（x）=2sin（2x-）在区间上为增函数，

在区间时为减函数，

又f（0）=-1，f（）=2，f（）=1，

函数f（x）在区间上的最大值2，最小值-1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（2x-），，

2sin（2θ-）=，，2θ-，

从而cos（2θ-）==．

解析

解：（Ⅰ）由题意可知

=2sinxcosx+2sin2x-1

=2sin（2x-）．

因为f（x）=2sin（2x-）在区间上为增函数，

在区间时为减函数，

又f（0）=-1，f（）=2，f（）=1，

函数f（x）在区间上的最大值2，最小值-1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（2x-），，

2sin（2θ-）=，，2θ-，

从而cos（2θ-）==．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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