热门试卷

解：不妨设C1，C2和C的半径分别为r1，r2，r（r1>r2）

（1）当C1和C2相离时，即|C1C2|>r1+r2，

（i）若C与C1，C2都外切，

则|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r，

∴|CC1|-|CC2|=r1-r2若C与C1，C2都内切，

则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2，

∴|CC2|-|CC1|=r1-r2；

∴||CC2|-|CC1||=r1-r2<|C1C2|，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1-r2的双曲线；

（ii）若C与Cl内切，C2外切，

则|CC1|=r-r1，|CC2|=r2+r，

∴|CC2|-|CC1|=r1+r2；

若C与C1外切，C2内切，

则|CC1|=r+r1，|CC2|=r-r2，

∴|CC1|-|CC2|=r1+r2∴||CC2|-|CC1||=r1+r2<|C1C2|，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1+r2的双曲线；

（2）当C1和C2外切时，即|C1C2|=r1+r2，

（i）若C与C1，C2都外切，

则|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r，

∴|CC1|-|CC2|=r1-r2；

若C与C1，C2都内切，

则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2，

∴|CC2|-|CC1|=r1-r2；

∴||CC2|-|CC1||=r1-r2<|C1C2|，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r-r2的双曲线；

（ii）若C与C1内切，C2外切，

则|CC1|=r-r1，|CC2|=r2+r（或|CC1|=r1-r，|CC2|=r2+r）（如图1，2），

∴|CC2|-|CC1|=r1+r2（或|CC2|+|CC1|=r1+r2）

若C与C1外切，C2内切，

则|CC1|=r+r1，|CC2|=r-r2（或|CC1| =r+r1，|CC2|=r2-r），

∴|CC1|-|CC2|=r1+r2=|C1C2|（或|CC2|+|CC1|=r1+r2= |C1C2|），

∴C的圆心的轨迹是过C1，C2的直线（除直线与圆C1、C2的交点外）；  

（3）当C1和C2相交时，

即r1-r2<|C1C2|

（i）若C与C1，C2都外切，

则|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r，

∴|CC1|-|CC2|=r1-r2若C与C1，C2都内切，

则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2（或|CC1| =r1-r，|CC2|=r2-r）， ∴||CC2|-|CC1|| =r1-r2∴||CC2|-|CC1|| =r1-r2<|C1C2|，

由双曲线的定义，C的圆心轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1-r2的双曲线（圆C1，C2的交点除外）；

（ii）若C与C1内切，C2外切（如图3），

则|CC1|=r1-r，|CC2|=r2+r，

∴|CC2|+|CC1|=r1+r2若C与C1外切，C2内切，

则|CC1|=r+r1，|CC2|=r2-r，

∴|CC2|+|CC1|=r1+r2∴|CC2|+|CC1|=r1+r2>|C1C2|，由椭圆的定义，C的圆心的轨迹方程是以C1，C2为焦点、实轴长为r1+r2的椭圆（圆 C1、C2的交点除外）；

（4）当C1和C2内切时，

即|C1C2| =r1-r2，

（i）若C与C1，C2都外切，

则|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r，

∴|CC1|-|CC2|=r1-r2；

若C与C1，C2都内切，

则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2（或|CC1| =r1-r，|CC2|=r-r2或|CC1|=r1-r，|CC2|=r2-r）（如图4， 5，6），

∴|CC2|-|CC1|=r1-r2（或|CC2|+|CC1|=r1-r2或|CC2|- |CC1|=r2-r1）

∴||CC2|-|CC1||=r1-r2=|C1C2|或|CC2|+|CC1|=r1-r2，

∴C的圆心的轨迹是过C1，C2的直线（除直线与圆C1 、C2的交点外）；

（ii）若C与C1内切，C2外切，

则|CC1|=r1-r，|CC2|=r2+r，

∴|CC2|+|CC1|=r1+r2>|C1C2|，

∴C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1+r2的椭圆（两圆C1、C2的交点除外）；

（5）当C1和C2内含时，

即|C1C2|＜r1-r2，

（i）若C与C1，C2都内切（如图7），

则|CC1|=r1-r，|CC2|=r-r2，

∴|CC2|+|CC1|=r1-r2>|C1C2|，

∴C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1-r2的椭圆；

（ii）若C与C1内切，C2外切，

则|CC1|=r1- r，|CC2|=r2+r，

∴|CC2|+|CC1|=r1+r2>|C1C2|，

∴C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1+r2的椭圆。

解：（1）设动点为M，其坐标为（x，y），

当x≠±a时，由条件可得

即mx2-y2=ma2（x≠±a），

又A1（-a，0）、A2（a，0）的坐标满足mx2-y2=ma2，

故依题意，曲线C的方程为mx2-y2=ma2

当m＜-1时，曲线C的方程为

C是焦点在y轴上的椭圆；

当m=-1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆；

当-1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；

当m>0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线。

（2）由（1）知，当m=-1时，C1的方程为x2+y2=a2；

当m∈（-1，0）∪（0，+∞）时，C2的两个焦点分别为

对于给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），C1上存在点N（x0，y0）（y0≠0）使得S=|m|a2的充要条件是

由①得0＜|y0|≤a，由②得

当，即或时

存在点N，使S=|m|a2

当即或时，

不存在满足条件的点N。

当时

由，-y0）

可得

令

则由

可得

从而

于是由S=|m|a2可得，即

综上可得：当时，在C1上，存在点N，使得S=|m|·a2，且tanF1NF2=2；

当时，在C1上，存在点N，使得S=|m|·a2，且tanF1NF2=-2；

当时，在C1上，不存在满足条件的点N。

解：（1）设，

由已知得到，且，

设切线PA的方程为：，

由得，

从而，

解得，

因此PA的方程为：，

同理PB的方程为：，

又在PA、PB上，所以，

即点都在直线上，

又也在直线上，

所以三点A、M、B共线。

（2）垂线AN的方程为：，

由得垂足，

设重心G（x，y），

所以，解得，

由，可得，

即为重心G所在曲线方程。

解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），

则，

由题设当x＞2时，

由①得，

化简得；

当x≤2时，由①得，

化简得；

故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分

与抛物线在直线x=2的左侧部分

（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1；

（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与的

交点都是，

直线AF，BF的斜率分别为，

当点P在C1上时，由②知，④

当点P在C2上时，由③知|PF|=3+x，⑤

若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x-3），

（1）当k≤时，

直线l与轨迹C的两个交点都在C1上，

此时由④知，

从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣

=，

由得，

则是这个方程的两根，

所以*

∣MN∣=，

因为当，

，

当且仅当时，等号成立。

（2）当时，

直线l与轨迹C的两个交点分别在上，

不妨设点M在C1上，点C2上，

则④⑤知，，

设直线AF与椭圆C1的另一交点为E，

，

所以，

而点A，E都在C1上，且，

有（1）知，

若直线l的斜率不存在，则=3，

此时，；

综上所述，线段MN长度的最大值为。