热门试卷

解：（Ⅰ）由椭圆上的点到两焦点F1、F2两点的距离之和等于4，知，

又点在椭圆上，

因此，

于是，

所以，所求的椭圆方程为，焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0）。

（Ⅱ）设中点M（x，y），并设动点，

则，即，

又因为点在椭圆上，于是，

即，

化简，得，

所以，点M的轨迹方程为。

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值，

按题意有A（-2，0），B（2，0），C（2，4a），D（-2，4a），

设，

由此有E（2，4ak），F（2-4k，4a），G（-2，4a-4ak），

直线OF的方程为：2ax+（2k-1）y=0， ①

直线GE的方程为：，　②

从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程，

整理得，

当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；

当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；

当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；

当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a。

解：（1）因为，

所以，即，

当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；

当m=1时，方程表示的是圆；

当m＞0且m≠1时，方程表示的是椭圆；

当m＜0时，方程表示的是双曲线；

（2）当时，轨迹E的方程为，

设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，

解方程组得，

即，

要使切线与轨迹E恒有两个交点A，B，

则使△=，

即，且，

，

要使，需使，

即，

所以，

所以又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，

所以圆的半径为，，

所求的圆为；

当切线的斜率不存在时，切线为，

与交于点也满足OA⊥OB；

综上， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且。

（3）当时，轨迹E的方程为，

设直线l的方程为y=kx+t，因为直线l与圆C：(1＜R＜2)相切于A1，

由（2）知， ①

因为l与轨迹E只有一个公共点B1，

由（2）知得，

即有唯一解，

则△=，

即， ②

由①②得，此时A，B重合为B1(x1，y1)点，

由中，

所以，，

B1(x1，y1)点在椭圆上，所以，

所以，

在直角三角形OA1B1中，

，

因为当且仅当时取等号，

所以，

即当时，|A1B1|取得最大值，最大值为1。