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题型:简答题
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简答题

(2015秋•安徽月考)已知直线l的极坐标方程是psin(θ+)=2,以极点为原点,极输为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,曲线C的参数方程为(θ为参数).

(1)求直线l的普通方程;

(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最小值.

正确答案

解:(1)∵直线l的极坐标方程是psin(θ+)=2,

∴ρsinθcos+ρcosθsin=2,

∴x+y-4=0,

∴直线l的普通方程:x+y-4=0,

(2)∵曲线C的参数方程为(θ为参数).

设与直线l平行的直线方程为:x+y+m=0,

∴联立方程组

∴13y2+6my+3m2-12=0,

∴△=(6m)2-4×13×3(m2-4)=0,

∴m2=13,

∴m=±

∴曲线C上的点到直线l的距离的最小值d==

解析

解:(1)∵直线l的极坐标方程是psin(θ+)=2,

∴ρsinθcos+ρcosθsin=2,

∴x+y-4=0,

∴直线l的普通方程:x+y-4=0,

(2)∵曲线C的参数方程为(θ为参数).

设与直线l平行的直线方程为:x+y+m=0,

∴联立方程组

∴13y2+6my+3m2-12=0,

∴△=(6m)2-4×13×3(m2-4)=0,

∴m2=13,

∴m=±

∴曲线C上的点到直线l的距离的最小值d==

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题型:简答题
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简答题

过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为:(t为参数),在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建设极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),直线l与曲线C分别交于M,N.

(1)写出曲线C和直线l的普通方程;

(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.

正确答案

解:(1)直线l的参数方程为:(t为参数),消去参数t可得:x-y=2.

曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),即ρ2sin2θ=2aρcosθ,可得:直角坐标方程:y2=2ax.

(2)把直线l的参数方程:(t为参数),代入抛物线方程:y2=2ax.

可得:t2-t+8a+32=0,

∴t1+t2=+2a,t1t2=8a+32.

∴|PM|=t1,|PN|=t2

|MN|=|t2-t1|==

∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,

∴|MN|2=|PM||PN|,

-4(8a+32)=8a+32,

化为:a=1.

解析

解:(1)直线l的参数方程为:(t为参数),消去参数t可得:x-y=2.

曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),即ρ2sin2θ=2aρcosθ,可得:直角坐标方程:y2=2ax.

(2)把直线l的参数方程:(t为参数),代入抛物线方程:y2=2ax.

可得:t2-t+8a+32=0,

∴t1+t2=+2a,t1t2=8a+32.

∴|PM|=t1,|PN|=t2

|MN|=|t2-t1|==

∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,

∴|MN|2=|PM||PN|,

-4(8a+32)=8a+32,

化为:a=1.

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题型:填空题
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填空题

(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1,(为参数)与曲线C2,(θ为参数)相交于两个点A、B,则线段AB的长为______

正确答案

4

解析

解:在直角坐标系xOy中,已知曲线C1,(为参数),消去参数t,化为直角坐标方程为 2x+y-5=0.

曲线C2,(θ为参数),即 x2+y2=9,表示以原点为圆心、半径等于3的圆.

由于圆心到直线的距离为 d==,由弦长公式可得弦长AB=2=4,

故答案为 4.

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题型:填空题
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填空题

圆锥曲线(θ为参数)的离心率是______

正确答案

解析

解:把曲线(θ为参数)利用同角三角函数的基本关系sec2θ-tan2θ=1消去参数θ,

化为普通方程为 -=1,∴a=3、b=2,∴c=,e==

故答案为:

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题型: 单选题
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单选题

参数方程(t为参数)所表示的曲线是(  )

A一条射线

B两条射线

C一条直线

D两条直线

正确答案

B

解析

解:t>0时,x=t+≥2,t<0时,x=t+≤-2,

∴参数方程(t为参数)可化为y=-2(x≤-2或x≥2),

∴表示两条射线.

故选:B.

1
题型:填空题
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填空题

在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C1:ρ(cosθ-sinθ)+1=0与曲线C2(α为参数)相交于点M,N,则|MN|=______

正确答案

解析

解:曲线C1:ρ(cosθ-sinθ)+1=0即x-y+1=0,曲线C2(α为参数),即 +=1,

由 ,可得7x2+8x-8=0,∴x1+x2=-,x1•x2=-

∴弦长|MN|=•|x1-x2|===

故答案为:

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题型: 单选题
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单选题

已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|→MN|·|→MP|+→MN·→NP=0,则动点Pxy)的轨迹方程为()

Ay2="8x"

By2=-8x

Cy2="4x"

Dy2=-4x

正确答案

B
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题型: 单选题
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单选题

P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一点,且侧面SBC垂直于底面ABC,若动点P到底面ABC的距离与到点S的距离相等,则动点P的轨迹是侧面SBC内的()

A线段或圆的一部分

B椭圆的一部分

C双曲线的一部分

D抛物线的一部分

正确答案

D
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题型: 单选题
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单选题

若正四面体S—ABC的面ABC内有一动点P分别到平面SAB、平面SBC、平面SAC的距离成等差数列,则点P的轨迹是()

A一条线段

B一个点

C一段圆弧

D抛物线的一段

正确答案

A
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题型: 单选题
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单选题

己知关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那么实数m的取值范围是

A-3<m<0

Bm<-3或m>0

C0<m<3

Dm<0 或 m>3

正确答案

A
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题型:简答题
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简答题

选修4-4:坐标系与参数方程

已知直线l经过点P(1,1),倾斜角

(1)写出直线l的参数方程;

(2)设l与圆(θ是参数)相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.

正确答案

解:(1)直线的参数方程为 ,即 .(2分)

(2)由(1)得直线l的参数方程为(t为参数).(3分)

曲线的普通方程为x2+y2=4.(6分)

把直线的参数方程代入曲线的普通方程,得

t2+( +1)t-2=0,

∴t1t2=-2,(8分)

∴点P到A,B两点的距离之积为2.(10分)

解析

解:(1)直线的参数方程为 ,即 .(2分)

(2)由(1)得直线l的参数方程为(t为参数).(3分)

曲线的普通方程为x2+y2=4.(6分)

把直线的参数方程代入曲线的普通方程,得

t2+( +1)t-2=0,

∴t1t2=-2,(8分)

∴点P到A,B两点的距离之积为2.(10分)

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题型:简答题
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简答题

已知圆C的参数方程为(α为参数).以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ=2,则直线l与圆C的交点的直角坐标为______

正确答案

解:圆C的参数方程为(α为参数)化为(x-1)2+y2=4.

直线l的极坐标方程为ρsinθ=2,化为y=2.

联立,解得

则直线l与圆C的交点的直角坐标为(1,2).

故答案为:(1,2).

解析

解:圆C的参数方程为(α为参数)化为(x-1)2+y2=4.

直线l的极坐标方程为ρsinθ=2,化为y=2.

联立,解得

则直线l与圆C的交点的直角坐标为(1,2).

故答案为:(1,2).

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题型:简答题
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简答题

(选修4-4:坐标系与参数方程)

已知直线l的参数方程(t为参数),圆C的极坐标方程:ρ+2sinθ=0.

(1)将直线l的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)在圆C上求一点P,使得点P到直线l的距离最小.

正确答案

解:(1)消去参数t,得直线l的普通方程为y=-x+1+2

ρ+2sinθ=0,两边同乘以ρ得ρ2+2ρsinθ=0,

得⊙C的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1;

(2)设所求的点为P(cosθ,-1+sinθ),

则P到直线l的距离d===

当θ=+2kπ,k∈Z,sin(θ+)=1,d取得最小值

此时点P的坐标为(,-).

解析

解:(1)消去参数t,得直线l的普通方程为y=-x+1+2

ρ+2sinθ=0,两边同乘以ρ得ρ2+2ρsinθ=0,

得⊙C的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1;

(2)设所求的点为P(cosθ,-1+sinθ),

则P到直线l的距离d===

当θ=+2kπ,k∈Z,sin(θ+)=1,d取得最小值

此时点P的坐标为(,-).

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题型:填空题
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填空题

选做题(请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.)

A(坐标系与参数方程选讲选做题)直线l:(t为参数)被曲线C:(θ为参数)所截得的弦长为______

B(不等式选讲选做题)若存在实数x满足|x-3|+|x-m|<5,则实数m的取值范围为______

C(几何证明选讲选做题)若一直角三角形的内切圆与外接圆的面积分别π与9π,则该三角形的面积为______

正确答案

2

-2<m<8

7

解析

解:A  直线l:(t为参数)即 ,即 3x-4y-8=0.

曲线C:(θ为参数)化为直角坐标方程为(x-5)2+(y-3)2=4,表示以(5,3)为圆心,以2为半径的圆.

圆心到直线的距离等于 =1,由弦长公式求得弦长为2=2

故答案为 2

B  由于存在实数x满足|x-3|+|x-m|<5,而|x-3|+|x-m|表示数轴上的x对应点到3和m对应点的距离之和,其最小值为|m-3|,

故|m-3|<5,解得-2<m<8,

故答案为-2<m<8.

C  设R,r分别为Rt△ABC的外接圆半径和内切圆半径,则由直角三角形的内切圆与外接圆的面积分别π与9π可得 πr2=π,πR2=9π,

解得 r=1,R=3.

设两直角边分别为a,b,则由圆的切线性质可得斜边为 a-r+b-r==2R=6,∴a+b=8.

故三角形的面积等于 ==7,

故答案为 7.

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题型:填空题
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填空题

已知直线(t∈R),以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴(单位长度不变)的极坐标系中,圆的方程为ρ=4cosθ.若圆与直线相交于A、B,则以AB为直径的圆的面积为______

正确答案

π

解析

解:圆的方程为ρ=4cosθ,直角坐标方程得(x-2)2+y2=4,

把直线(t∈R)代入上述圆的方程得(t-1)2+(4-2t)2=4,

化为5t2-18t+13=0,解得t1=,t2=1.

由t几何意义可得|AB|=|t1-t2|=|-1|=

∴以AB为直径的圆的面积S=π×=π.

故答案为:π.

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