- 参数方程
- 共2145题
(2015秋•安徽月考)已知直线l的极坐标方程是psin(θ+)=2,以极点为原点,极输为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,曲线C的参数方程为
(θ为参数).
(1)求直线l的普通方程;
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最小值.
正确答案
解:(1)∵直线l的极坐标方程是psin(θ+)=2,
∴ρsinθcos+ρcosθsin
=2,
∴,
∴x+y-4=0,
∴直线l的普通方程:x+y-4=0,
(2)∵曲线C的参数方程为(θ为参数).
∴,
设与直线l平行的直线方程为:x+y+m=0,
∴联立方程组,
∴13y2+6my+3m2-12=0,
∴△=(6m)2-4×13×3(m2-4)=0,
∴m2=13,
∴m=±,
∴曲线C上的点到直线l的距离的最小值d==
.
解析
解:(1)∵直线l的极坐标方程是psin(θ+)=2,
∴ρsinθcos+ρcosθsin
=2,
∴,
∴x+y-4=0,
∴直线l的普通方程:x+y-4=0,
(2)∵曲线C的参数方程为(θ为参数).
∴,
设与直线l平行的直线方程为:x+y+m=0,
∴联立方程组,
∴13y2+6my+3m2-12=0,
∴△=(6m)2-4×13×3(m2-4)=0,
∴m2=13,
∴m=±,
∴曲线C上的点到直线l的距离的最小值d==
.
过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为:(t为参数),在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建设极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),直线l与曲线C分别交于M,N.
(1)写出曲线C和直线l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.
正确答案
解:(1)直线l的参数方程为:(t为参数),消去参数t可得:x-y=2.
曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),即ρ2sin2θ=2aρcosθ,可得:直角坐标方程:y2=2ax.
(2)把直线l的参数方程:(t为参数),代入抛物线方程:y2=2ax.
可得:t2-t+8a+32=0,
∴t1+t2=+2
a,t1t2=8a+32.
∴|PM|=t1,|PN|=t2,
|MN|=|t2-t1|==
,
∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,
∴|MN|2=|PM||PN|,
∴-4(8a+32)=8a+32,
化为:a=1.
解析
解:(1)直线l的参数方程为:(t为参数),消去参数t可得:x-y=2.
曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),即ρ2sin2θ=2aρcosθ,可得:直角坐标方程:y2=2ax.
(2)把直线l的参数方程:(t为参数),代入抛物线方程:y2=2ax.
可得:t2-t+8a+32=0,
∴t1+t2=+2
a,t1t2=8a+32.
∴|PM|=t1,|PN|=t2,
|MN|=|t2-t1|==
,
∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,
∴|MN|2=|PM||PN|,
∴-4(8a+32)=8a+32,
化为:a=1.
(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1,(为参数)与曲线C2:
,(θ为参数)相交于两个点A、B,则线段AB的长为______.
正确答案
4
解析
解:在直角坐标系xOy中,已知曲线C1,(为参数),消去参数t,化为直角坐标方程为 2x+y-5=0.
曲线C2:,(θ为参数),即 x2+y2=9,表示以原点为圆心、半径等于3的圆.
由于圆心到直线的距离为 d==
,由弦长公式可得弦长AB=2
=4,
故答案为 4.
圆锥曲线(θ为参数)的离心率是______.
正确答案
解析
解:把曲线(θ为参数)利用同角三角函数的基本关系sec2θ-tan2θ=1消去参数θ,
化为普通方程为 -
=1,∴a=3、b=2,∴c=
,e=
=
,
故答案为:.
参数方程(t为参数)所表示的曲线是( )
正确答案
解析
解:t>0时,x=t+≥2,t<0时,x=t+
≤-2,
∴参数方程(t为参数)可化为y=-2(x≤-2或x≥2),
∴表示两条射线.
故选:B.
在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C1:ρ(cosθ-sinθ)+1=0与曲线C2:(α为参数)相交于点M,N,则|MN|=______.
正确答案
解析
解:曲线C1:ρ(cosθ-sinθ)+1=0即x-y+1=0,曲线C2:(α为参数),即
+
=1,
由 ,可得7x2+8x-8=0,∴x1+x2=-
,x1•x2=-
,
∴弦长|MN|=•|x1-x2|=
•
=
•
=
,
故答案为:.
已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|→MN|·|→MP|+→MN·→NP=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()
正确答案
P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一点,且侧面SBC垂直于底面ABC,若动点P到底面ABC的距离与到点S的距离相等,则动点P的轨迹是侧面SBC内的()
正确答案
若正四面体S—ABC的面ABC内有一动点P分别到平面SAB、平面SBC、平面SAC的距离成等差数列,则点P的轨迹是()
正确答案
己知关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那么实数m的取值范围是
正确答案
选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l经过点P(1,1),倾斜角.
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设l与圆(θ是参数)相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.
正确答案
解:(1)直线的参数方程为 ,即
.(2分)
(2)由(1)得直线l的参数方程为(t为参数).(3分)
曲线的普通方程为x2+y2=4.(6分)
把直线的参数方程代入曲线的普通方程,得
t2+( +1)t-2=0,
∴t1t2=-2,(8分)
∴点P到A,B两点的距离之积为2.(10分)
解析
解:(1)直线的参数方程为 ,即
.(2分)
(2)由(1)得直线l的参数方程为(t为参数).(3分)
曲线的普通方程为x2+y2=4.(6分)
把直线的参数方程代入曲线的普通方程,得
t2+( +1)t-2=0,
∴t1t2=-2,(8分)
∴点P到A,B两点的距离之积为2.(10分)
已知圆C的参数方程为(α为参数).以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ=2,则直线l与圆C的交点的直角坐标为______.
正确答案
解:圆C的参数方程为(α为参数)化为(x-1)2+y2=4.
直线l的极坐标方程为ρsinθ=2,化为y=2.
联立,解得
.
则直线l与圆C的交点的直角坐标为(1,2).
故答案为:(1,2).
解析
解:圆C的参数方程为(α为参数)化为(x-1)2+y2=4.
直线l的极坐标方程为ρsinθ=2,化为y=2.
联立,解得
.
则直线l与圆C的交点的直角坐标为(1,2).
故答案为:(1,2).
(选修4-4:坐标系与参数方程)
已知直线l的参数方程(t为参数),圆C的极坐标方程:ρ+2sinθ=0.
(1)将直线l的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)在圆C上求一点P,使得点P到直线l的距离最小.
正确答案
解:(1)消去参数t,得直线l的普通方程为y=-x+1+2
,
ρ+2sinθ=0,两边同乘以ρ得ρ2+2ρsinθ=0,
得⊙C的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1;
(2)设所求的点为P(cosθ,-1+sinθ),
则P到直线l的距离d==
=
,
当θ=+2kπ,k∈Z,sin(θ+
)=1,d取得最小值
,
此时点P的坐标为(,-
).
解析
解:(1)消去参数t,得直线l的普通方程为y=-x+1+2
,
ρ+2sinθ=0,两边同乘以ρ得ρ2+2ρsinθ=0,
得⊙C的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1;
(2)设所求的点为P(cosθ,-1+sinθ),
则P到直线l的距离d==
=
,
当θ=+2kπ,k∈Z,sin(θ+
)=1,d取得最小值
,
此时点P的坐标为(,-
).
选做题(请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.)
A(坐标系与参数方程选讲选做题)直线l:(t为参数)被曲线C:
(θ为参数)所截得的弦长为______.
B(不等式选讲选做题)若存在实数x满足|x-3|+|x-m|<5,则实数m的取值范围为______.
C(几何证明选讲选做题)若一直角三角形的内切圆与外接圆的面积分别π与9π,则该三角形的面积为______.
正确答案
2
-2<m<8
7
解析
解:A 直线l:(t为参数)即
,即 3x-4y-8=0.
曲线C:(θ为参数)化为直角坐标方程为(x-5)2+(y-3)2=4,表示以(5,3)为圆心,以2为半径的圆.
圆心到直线的距离等于 =1,由弦长公式求得弦长为2
=2
,
故答案为 2.
B 由于存在实数x满足|x-3|+|x-m|<5,而|x-3|+|x-m|表示数轴上的x对应点到3和m对应点的距离之和,其最小值为|m-3|,
故|m-3|<5,解得-2<m<8,
故答案为-2<m<8.
C 设R,r分别为Rt△ABC的外接圆半径和内切圆半径,则由直角三角形的内切圆与外接圆的面积分别π与9π可得 πr2=π,πR2=9π,
解得 r=1,R=3.
设两直角边分别为a,b,则由圆的切线性质可得斜边为 a-r+b-r==2R=6,∴a+b=8.
故三角形的面积等于 =
=7,
故答案为 7.
已知直线(t∈R),以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴(单位长度不变)的极坐标系中,圆的方程为ρ=4cosθ.若圆与直线相交于A、B,则以AB为直径的圆的面积为______.
正确答案
π
解析
解:圆的方程为ρ=4cosθ,直角坐标方程得(x-2)2+y2=4,
把直线(t∈R)代入上述圆的方程得(t-1)2+(4-2t)2=4,
化为5t2-18t+13=0,解得t1=,t2=1.
由t几何意义可得|AB|=|t1-t2|=|-1|=
.
∴以AB为直径的圆的面积S=π×=
π.
故答案为:π.
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