参数方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•安徽月考）已知直线l的极坐标方程是psin（θ+）=2，以极点为原点，极输为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的参数方程为（θ为参数）．

（1）求直线l的普通方程；

（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值．

正确答案

解：（1）∵直线l的极坐标方程是psin（θ+）=2，

∴ρsinθcos+ρcosθsin=2，

∴，

∴x+y-4=0，

∴直线l的普通方程：x+y-4=0，

（2）∵曲线C的参数方程为（θ为参数）．

∴，

设与直线l平行的直线方程为：x+y+m=0，

∴联立方程组，

∴13y2+6my+3m2-12=0，

∴△=（6m）2-4×13×3（m2-4）=0，

∴m2=13，

∴m=±，

∴曲线C上的点到直线l的距离的最小值d==．

解析

解：（1）∵直线l的极坐标方程是psin（θ+）=2，

∴ρsinθcos+ρcosθsin=2，

∴，

∴x+y-4=0，

∴直线l的普通方程：x+y-4=0，

（2）∵曲线C的参数方程为（θ为参数）．

∴，

设与直线l平行的直线方程为：x+y+m=0，

∴联立方程组，

∴13y2+6my+3m2-12=0，

∴△=（6m）2-4×13×3（m2-4）=0，

∴m2=13，

∴m=±，

∴曲线C上的点到直线l的距离的最小值d==．

1

题型：简答题

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简答题

过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为：（t为参数），在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建设极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l与曲线C分别交于M，N．

（1）写出曲线C和直线l的普通方程；

（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

正确答案

解：（1）直线l的参数方程为：（t为参数），消去参数t可得：x-y=2．

曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），即ρ2sin2θ=2aρcosθ，可得：直角坐标方程：y2=2ax．

（2）把直线l的参数方程：（t为参数），代入抛物线方程：y2=2ax．

可得：t2-t+8a+32=0，

∴t1+t2=+2a，t1t2=8a+32．

∴|PM|=t1，|PN|=t2，

|MN|=|t2-t1|==，

∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，

∴|MN|2=|PM||PN|，

∴-4（8a+32）=8a+32，

化为：a=1．

解析

解：（1）直线l的参数方程为：（t为参数），消去参数t可得：x-y=2．

曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），即ρ2sin2θ=2aρcosθ，可得：直角坐标方程：y2=2ax．

（2）把直线l的参数方程：（t为参数），代入抛物线方程：y2=2ax．

可得：t2-t+8a+32=0，

∴t1+t2=+2a，t1t2=8a+32．

∴|PM|=t1，|PN|=t2，

|MN|=|t2-t1|==，

∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，

∴|MN|2=|PM||PN|，

∴-4（8a+32）=8a+32，

化为：a=1．

1

题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线C1，（为参数）与曲线C2：，（θ为参数）相交于两个点A、B，则线段AB的长为______．

正确答案

4

解析

解：在直角坐标系xOy中，已知曲线C1，（为参数），消去参数t，化为直角坐标方程为 2x+y-5=0．

曲线C2：，（θ为参数），即 x2+y2=9，表示以原点为圆心、半径等于3的圆．

由于圆心到直线的距离为 d==，由弦长公式可得弦长AB=2=4，

故答案为 4．

1

题型：填空题

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填空题

圆锥曲线（θ为参数）的离心率是______．

正确答案

解析

解：把曲线（θ为参数）利用同角三角函数的基本关系sec2θ-tan2θ=1消去参数θ，

化为普通方程为 -=1，∴a=3、b=2，∴c=，e==，

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

参数方程（t为参数）所表示的曲线是（　　）

A一条射线

B两条射线

C一条直线

D两条直线

正确答案

B

解析

解：t＞0时，x=t+≥2，t＜0时，x=t+≤-2，

∴参数方程（t为参数）可化为y=-2（x≤-2或x≥2），

∴表示两条射线．

故选：B．

1

题型：填空题

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填空题

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1：ρ（cosθ-sinθ）+1=0与曲线C2：（α为参数）相交于点M，N，则|MN|=______．

正确答案

解析

解：曲线C1：ρ（cosθ-sinθ）+1=0即x-y+1=0，曲线C2：（α为参数），即 +=1，

由，可得7x2+8x-8=0，∴x1+x2=-，x1•x2=-，

∴弦长|MN|=•|x1-x2|=•=•=，

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|→MN|·|→MP|+→MN·→NP=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（）

Ay2="8x"

By2=-8x

Cy2="4x"

Dy2=-4x

正确答案

B

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题型：单选题

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单选题

P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一点，且侧面SBC垂直于底面ABC，若动点P到底面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹是侧面SBC内的（）

A线段或圆的一部分

B椭圆的一部分

C双曲线的一部分

D抛物线的一部分

正确答案

D

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题型：单选题

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单选题

若正四面体S—ABC的面ABC内有一动点P分别到平面SAB、平面SBC、平面SAC的距离成等差数列，则点P的轨迹是（）

A一条线段

B一个点

C一段圆弧

D抛物线的一段

正确答案

A

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题型：单选题

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单选题

己知关于x的方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是

A－3＜m＜0

Bm＜－3或m＞0

C0＜m＜3

Dm＜0 或 m＞3

正确答案

A

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．

（1）写出直线l的参数方程；

（2）设l与圆（θ是参数）相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

正确答案

解：（1）直线的参数方程为，即．（2分）

（2）由（1）得直线l的参数方程为（t为参数）．（3分）

曲线的普通方程为x2+y2=4．（6分）

把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得

t2+（ +1）t-2=0，

∴t1t2=-2，（8分）

∴点P到A，B两点的距离之积为2．（10分）

解析

解：（1）直线的参数方程为，即．（2分）

（2）由（1）得直线l的参数方程为（t为参数）．（3分）

曲线的普通方程为x2+y2=4．（6分）

把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得

t2+（ +1）t-2=0，

∴t1t2=-2，（8分）

∴点P到A，B两点的距离之积为2．（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知圆C的参数方程为（α为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2，则直线l与圆C的交点的直角坐标为______．

正确答案

解：圆C的参数方程为（α为参数）化为（x-1）2+y2=4．

直线l的极坐标方程为ρsinθ=2，化为y=2．

联立，解得．

则直线l与圆C的交点的直角坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

解析

解：圆C的参数方程为（α为参数）化为（x-1）2+y2=4．

直线l的极坐标方程为ρsinθ=2，化为y=2．

联立，解得．

则直线l与圆C的交点的直角坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

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题型：简答题

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简答题

（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知直线l的参数方程（t为参数），圆C的极坐标方程：ρ+2sinθ=0．

（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）在圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．

正确答案

解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y=-x+1+2，

ρ+2sinθ=0，两边同乘以ρ得ρ2+2ρsinθ=0，

得⊙C的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1；

（2）设所求的点为P（cosθ，-1+sinθ），

则P到直线l的距离d===，

当θ=+2kπ，k∈Z，sin（θ+）=1，d取得最小值，

此时点P的坐标为（，-）．

解析

解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y=-x+1+2，

ρ+2sinθ=0，两边同乘以ρ得ρ2+2ρsinθ=0，

得⊙C的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1；

（2）设所求的点为P（cosθ，-1+sinθ），

则P到直线l的距离d===，

当θ=+2kπ，k∈Z，sin（θ+）=1，d取得最小值，

此时点P的坐标为（，-）．

1

题型：填空题

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填空题

选做题（请考生从以下三个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．）

A（坐标系与参数方程选讲选做题）直线l：（t为参数）被曲线C：（θ为参数）所截得的弦长为______．

B（不等式选讲选做题）若存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，则实数m的取值范围为______．

C（几何证明选讲选做题）若一直角三角形的内切圆与外接圆的面积分别π与9π，则该三角形的面积为______．

正确答案

2

-2＜m＜8

7

解析

解：A 直线l：（t为参数）即，即 3x-4y-8=0．

曲线C：（θ为参数）化为直角坐标方程为（x-5）2+（y-3）2=4，表示以（5，3）为圆心，以2为半径的圆．

圆心到直线的距离等于 =1，由弦长公式求得弦长为2=2，

故答案为 2．

B 由于存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，而|x-3|+|x-m|表示数轴上的x对应点到3和m对应点的距离之和，其最小值为|m-3|，

故|m-3|＜5，解得-2＜m＜8，

故答案为-2＜m＜8．

C 设R，r分别为Rt△ABC的外接圆半径和内切圆半径，则由直角三角形的内切圆与外接圆的面积分别π与9π可得 πr2=π，πR2=9π，

解得 r=1，R=3．

设两直角边分别为a，b，则由圆的切线性质可得斜边为 a-r+b-r==2R=6，∴a+b=8．

故三角形的面积等于 ==7，

故答案为 7．

1

题型：填空题

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填空题

已知直线（t∈R），以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴（单位长度不变）的极坐标系中，圆的方程为ρ=4cosθ．若圆与直线相交于A、B，则以AB为直径的圆的面积为______．

正确答案

π

解析

解：圆的方程为ρ=4cosθ，直角坐标方程得（x-2）2+y2=4，

把直线（t∈R）代入上述圆的方程得（t-1）2+（4-2t）2=4，

化为5t2-18t+13=0，解得t1=，t2=1．

由t几何意义可得|AB|=|t1-t2|=|-1|=．

∴以AB为直径的圆的面积S=π×=π．

故答案为：π．

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