- 绝对值不等式
- 共1623题
ab＞0，则①|a+b|＞|a|②|a+b|＜|b|③|a+b|＜|a-b|④|a+b|＞|a-b|四个式中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于①|a+b|＞|a|；因为ab＞0，即a、b同号且都不为0，则|a+b|=|a|+|b|＞|a|，故成立．
对于②|a+b|＜|b|；因为ab＞0，即a、b同号且都不为0，则|a+b|=|a|+|b|＞|b|，故不成立
对于③|a+b|＜|a-b|；因为根据绝对值不等式|a+b|=|a|+|b|＞|a-b|，故显然不成立．
对于④|a+b|＞|a-b|；因为根据绝对值不等式|a+b|=|a|+|b|＞|a-b|，故成立．
故①④正确．
故选C．
解不等式
（1）|x-2|＜|x+1|；
（2）4＜|2x-3|≤7．
正确答案
解：（1）|x-2|＜|x+1|，两边平方可得x2-2x+4＜x2+2x+1，∴
∴不等式的解集为{x|
（2）4＜|2x-3|≤7，等价于4＜2x-3≤7或-7≤2x-3＜-4
∴
∴不等式的解集为{x|
解析
解：（1）|x-2|＜|x+1|，两边平方可得x2-2x+4＜x2+2x+1，∴
∴不等式的解集为{x|
（2）4＜|2x-3|≤7，等价于4＜2x-3≤7或-7≤2x-3＜-4
∴
∴不等式的解集为{x|
已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a，如果不等式的解集为空集，则实数a的取值范围为______．
正确答案
（-∞，1]
解析
解：由于|x-3|+|x-4|表示数轴上的x对应点到3和4对应点的距离之和，其最小值等于1，
若不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集为空集，则有a≤1，
故实数a的取值范围为（-∞，1]．
故答案为 （-∞，1]．
记关于x的不等式
（1）若a=2，求集合P，Q和P∩Q；
（2）若P∪Q=Q，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）a=2代入
所以P={x|-1＜x＜2}（4分），
不等式（1+x）（1-|x|）≥0⇔
解得：0≤x≤1或x＜0．
∴Q={x|x≤1}；
P∩Q={x|-1＜x≤1}；
（2）Q={x|x≤1}（6分）
①当a＞-1时，∴P={x|-1＜x＜a}（8分）
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q（10分）
所以-1＜a≤1，
②当a=-1时，∴P=∅，
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q
所以a=-1，
③当a＞-1时，∴P={x|a＜x＜-1}（14分）
∴P⊆Q，有P∪Q=Q，
∴所以a＜-1，
综上所述，a的取值范围a≤1．（16分）
解析
解：（1）a=2代入
所以P={x|-1＜x＜2}（4分），
不等式（1+x）（1-|x|）≥0⇔
解得：0≤x≤1或x＜0．
∴Q={x|x≤1}；
P∩Q={x|-1＜x≤1}；
（2）Q={x|x≤1}（6分）
①当a＞-1时，∴P={x|-1＜x＜a}（8分）
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q（10分）
所以-1＜a≤1，
②当a=-1时，∴P=∅，
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q
所以a=-1，
③当a＞-1时，∴P={x|a＜x＜-1}（14分）
∴P⊆Q，有P∪Q=Q，
∴所以a＜-1，
综上所述，a的取值范围a≤1．（16分）
选修4-5：不等式选讲
不等式a2-3a≤|x+3|+|x-1|对任意实数x恒成立，实数a的取值范围为______．
正确答案
-1＜a＜4
解析
解：根据函数y=f（x）=|x+3|+|x-1|的几何意义知：ymin=4．
要使不等式a2-3a≤|x+3|+|x-1|对任意实数x恒成立，
只需a2-3a≤（|x+3|+|x-1|）min，
即a2-3a≤4，
解得-1＜a＜4，
所以实数a的取值范围为-1＜a＜4．
故答案为：-1＜a＜4．
若不等式
正确答案
（-3，3）
解析
解：因为
不等式
解得a∈（-3，3）．
故答案为：（-3，3）．
若关于x的不等式|x-a|＜2-x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：|x-a|＜2-x2且 0＜2-x2在同一坐标系画出y=2-x2（x＜0，y＜0）和 y=|x|两个图象
将绝对值函数y=|x|向右移动当左支经过 （0，2）点，a=2
将绝对值函数y=|x|向左移动让右支与抛物线相切 （-
故实数a的取值范围是（-
故选C．
若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”，则称f（x）为优美函数．在下列四个函数中，优美函数是（ ）
Af（x）=|x|
B
Cf（x）=2x
Df（x）=x2
正确答案
解析
解：在区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），分别验证下列4个函数．
对于A：f（x）=|x|，|f（x2）-f（x1）|=||x2|-|x1||=|x2-x1|（因为故x1和x2大于0）故对于等于号不满足，故不成立．
对于B：
对于C：f（x）=2x，|f（x2）-f（x1）|=2|x2-x1|＜|x2-x1|．不成立．对于D：f（x）=x2，|f（x2）-f（x1）|=|x22-x12|=（x2+x1）|x2-x1|＞|x2-x1|不成立．
故选B．
选作题（请在下列2小题中选做一题，全做的只计算第（1）题得分）
（1）圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为______．
（2）若不等式|3x-b|＜4的解集中的整数有且仅有0，1，2，则b的取值范围是______．
正确答案
x-y-2=0
（2，4）
解析
解：（1）∵圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，故它们的直角坐标方程为 x2+y2=4x x2+y2=-4y，
故圆心坐标分别为（2，0）、（0，-2），故经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为
故答案为 x-y-2=0．
（2）由不等式|3x-b|＜4可得 
再由解集中的整数有且仅有0，1，2，可得-1≤
解得-1≤b＜4，且 2＜b≤5，故有2＜b＜4，
故b的取值范围是（2，4），
故答案为 （2，4）．
以下命题正确的是______（填序号）
①若||x-1|-|x+1||＜0对任意实数x均成立，则a的范围是a≥2；
②若y=lg（ax2+ax+1）的值域为R，则0≤a≤4；
③若f（x）=ax3+blog2（x+
④若y=-f（x）的图象经过第三、四象限，那么y=f-1（x）的图象经过第一、四象限．
正确答案
③④
解析
解：由于||x-1|-|x+1||＜0 不可能成立，故①不正确．
若y=lg（ax2+ax+1）的值域为R，则ax2+ax+1的最小值小于或等于零，
当a=0时，ax2+ax+1=1，不满足y=lg（ax2+ax+1）的值域为R，故②不正确．
令g（x）=ax3+blog2（x+
由于f（x）=g（x）+2 在（-∞，0）有最小值-5，故g（x）在（-∞，0）有最小值-7，
设x＞0，则-x＜0，∴g（-x）≥-7，∴-g（x）≥-7，∴g（x）≤7，
即g（x）在（0，+∞）上有最大值7，g（x）+2≥9．
故f（x）=g（x）+2 在（0，+∞）上有最大值为9，故③正确．
若y=-f（x）的图象经过第三、四象限，y=-f（x）的图象和y=f（x）的图象关于x轴对称，
故y=f（x）的图象经过第一、二象限．
而y=f（x）的图象和y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，故y=f-1（x）的图象经过第一、四象限，故④正确．
故答案为 ③④．
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