热门试卷

（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，

即不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，------------------①

①当x≤1时，不等式①等价于-2x+1＞0，解之得x＜；

②当1＜x≤5时，不等式①等价于-1＞0，无实数解；

③当x＞5时，不等式①等价于2x-11＞0，解之得x＞

综上所述，函数f（x）的定义域为（-∞，）∪（，+∞）．

（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，

∴不等式|x-1|+|x-5|-a＞0恒成立，

∴只要a＜（|x-1|+|x-5|）min即可，

又∵|x-1|+|x-5|≥|（x-1）+（x-5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号）

∴a＜（|x-1|+|x-5|）min即a＜4，可得实数a的取值范围是（-∞，4）．

（1）当m=4时，函数f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|-4），故有|2x+1|+|x+2|＞4．

故有 ①，或 ②，或 ③．

解①得 x＜-； 解②得 x∈∅； 解③得 x＞．

取并集可得函数f（x）的定义域为  {x|x＜-或x＞}．-----（5分）

（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，则有|2x+1|+|x+2|-m≥2，即  m≤|2x+1|+|x+2|-2．

令  g(x)=|2x+1|+|x+2|-2=，可得g(x)≥-，即 g（x）的最小值等于-

∴m≤-．-------（5分）

（I）由题设知：|x+1|+|x-2|-5≥0

如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x-2|

和y=5的图象，得定义域为（-∞，-2]∪[3，+∞）

（II）由题设知，当x∈R时，

恒有|x+1|+|x-2|+a≥0即|x+1|+|x-2|≥-a，

又由（I）|x+1|+|x-2|≥3，

∴-a≤3，

∴a≥-3．

（1）当x≥4时f（x）=2x+1-（x-4）=x+5＞0得 x＞-5，所以，x≥4时，不等式成立．

当-≤x＜4时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．

当x＜-时，f（x）=-x-5＞0，得x＜-5，所以，x＜-5成立

综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜-5}．

（2）f（x）+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-（2x-8）|=9，当x≥4或x≤-时等号成立，

所以，f（x）+3|x-4|的最小值为9，故 m＜9．

|x-3|+|x-4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和，

当x在3、4之间时，这个距离和最小为是1，其它情况都大于1

所以|x-3|+|x-4|≥1

如果使关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a在R上的解集不是空集，所以 a＞1，

∴A={a|a＞1}；

不等式|x|＞bx（b∈R）的解集为（0，+∞），

当x＞0时，x-bx＞0，即x（1-b）＞0，∴1-b＞0，∴b＜1；

当x＜0时，-x-bx＞0，即x（1+b）＜0，∴1+b＞0，∴b＞-1，

∵不等式|x|＞bx（b∈R）的解集为（0，+∞），说明x＜0时x无解，得b≤-1，

综上：b＜-1；B={b|b≤-1}

∴A∪B={a|a＞1}∪{b|b≤-1}；

∵f（x）=2|x+1|-|x-1|，

当x＞1时，f（x）=2x+1-x+1，f（x）为单调增函数，f（x）＞f（1）=4；

当x≤-1时，f（x）=2-x-1+x-1，f′（x）=-+1＜0，f（x）为减函数，f（x）≥f（-1）=-1；

∴综上：当x＞1时，f（x）＞4；当x＜-1时，f（x）≥-1；

f（x）=

（1）①由，解得x＜-7；

②，解得＜x≤4；

③，解得x＞4；

综上可知不等式的解集为{x|x＜-7或x＞}．

（2）如图可知f（x）min=-．