- 绝对值不等式
- 共1623题
设函数f（x）=|x-1|+|x-2|
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若不等式||a+b|-|a-b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．
正确答案
（1）f(x)=
（2）由||a+b|-|a-b||≤2|a|，…（2分）
得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），…（1分）
解得x≤
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．
（I）若函数f（x）的图象过点（0，3），求f（x）；
（Ⅱ）在（I）的条件下，对于任意x0∈[-6，6]，求使f（x0）≥-2的概率；
（Ⅲ）当x∈[0，1]时，试讨论|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件．
正确答案
设f（x）-2x=a（x+1）（x-3）（a＜0）
（I） 将点（0，3）代入f（x）有a=-1，故f（x）=-x2+4x+3-------------------（3分）
（Ⅱ） 由f（x0）≥-2解得：-1≤x≤5
记“使f（x0）≥-2”为事件A，则其概率为：P(A)=
则使f（x0）≥-2的概率为
（Ⅲ） 设 r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax2+x+1，r（0）=1，对称轴为x=-
由题意，得其充要条件是
或
解得：-5≤a＜0，
故使|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件是-5≤a＜0------------（14分）
对任意实数x，|x-1|-|x+3|＜a恒成立，则a的取值范围是______．
正确答案
|x-1|-|x+3|≤|（x-1）-（x+3）|=4，
由对任意实数x，|x-1|-|x+3|＜a恒成立，得4＜a，
所以a的取值范围为a＞4．
故答案为：a＞4．
已知a2+b2=2，若a+b≤|x+1|-|x-2|对任意实数a、b恒成立，则x的取值范围是______．
正确答案
由已知，只需|x+1|-|x-2|大于等于a+b的最大值即可．
由于a2+b2=2，令a=
所以2≤|x+1|-|x-2|．可以化为下面的三个不等式组
或
或
综上所述，x的取值范围是[
故答案为：[
若不等式|x+3|-|x+1|≤3a-a2对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．
正确答案
由于|x+3|-|x+1|表示数轴上的x对应点到-3对应点的距离减去它到-1对应点的距离，
故它的最大值等于2，故有2≤3a-a2，解得 1≤a≤2，
故实数a的取值范围是[1，2]．
故答案为[1，2]．
选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）解不等式：|2x-1|-|x|＜1；
（Ⅱ）设f（x）=x2-x+1，实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．
正确答案
（Ⅰ）当x＜0时，原不等式可化为-2x+x＜0，解得x＞0，又∵x＜0，∴x不存在．
当0≤x＜
当x≥
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．
（Ⅱ）∵f（x）=x2-x+1，实数a满足|x-a|＜1，
故|f（x）-f（a）|=|x2-x-a2+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．
∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．
已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．
正确答案
函数y=cx在R上单调递减⇔0＜c＜1．
不等式x+|x-2c|＞1的解集为R⇔函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1．
∵x+|x-2c|=
∴函数y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c．
∴不等式x+|x-2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞
如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤
如果P不正确，且Q正确，则c≥1．
∴c的取值范围为（0，
已知p：不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R，q：f（x）=-（7-3m）x是减函数，如果两个命题有且只有一个正确，则实数m的取值范围为______．
正确答案
p：∵不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R，而|x|+|x-1|表示数轴上的x到0和1的距离之和，最小值等于1，
∴m＜1．
q：∵f（x）=-（7-3m）x是减函数，∴7-3m＞1，m＜2．
∴当 1≤m＜2时，p不正确，而q正确，两个命题有且只有一个正确，实数m的取值范围为[1，2）．
故答案为：[1，2）．
已知命题p：不等式|x-1|+|x+2|＞m的解集为R；命题q：f（x）=log（5-2m）x为减函数．则p是q成立的______条件．
正确答案
由命题p：不等式|x-1|+|x+2|＞m的解集为R，|x-1|+|x+2|的最小值为3，可得 m＜3．
故5-2m可能大于1，也可能小于1，不能推出命题q：f（x）=log（5-2m）x为减函数．
当命题q：f（x）=log（5-2m）x为减函数成立时，0＜5-2m＜1，2＜m＜
由于，|x-1|+|x+2|的最小值为3，故不等式|x-1|+|x+2|＞m恒成立，故命题p成立．
综上，p是q成立的 必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
若lg（|x-5|+|x+3|）≥1，则x取值范围是______．
正确答案
由lg（|x-5|+|x+3|）≥1，得
|x-5|+|x+3|≥10，
1．当x≥5时，原不等式可化为：x-5+x+3≥10，⇒x≥6，
∴x≥6；
2．当-3≤x＜5时，原不等式可化为：-x+5+x+3≥10，⇒x∈∅，
3．当x＜-3时，原不等式可化为：-x+5-（x+3）≥10，⇒x≤-4，
∴x≤-4；
综上所述，则x取值范围是（-∞，-4]∪[6，+∞）．
故答案为：（-∞，-4]∪[6，+∞）．
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