- 圆锥曲线的定点、定值问题
- 共43题
已知直线经过椭圆
的左顶点
和上顶点
,椭圆
的右顶点为
,点
是椭圆上位于
轴上方的动点,直线
,
与直线
分别交于
两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)(ⅰ) 设直线,
的斜率分别为
,求证
为定值;
(ⅱ)求线段的长度的最小值。
正确答案
见解析
解析
(1).椭圆 的方程为
. ………3分
(2)(ⅰ)设点的坐标为
,
∴
………5分
∵点在椭圆上,∴
,∴
∴ ………7分
(ⅱ) 设直线的方程为
,
则 且
………9分
∵
∴ 直线的方程为
………10分
∴, ………11分
故, ………12分
∴, …………13分
当且仅当,即
时等号成立,
∴时,线段
的长度取得最小值为
. …………14分
知识点
抛物线的顶点在原点焦点在
轴上,且经过点
,圆
过定点
,且圆心
在抛物线
上,记圆
与
轴的两个交点为
。
(1)求抛物线的方程;
(2)当圆心在抛物线上运动时,试问
是否为一定值?请证明你的结论;
(3)当圆心在抛物线上运动时,记
,
,求
的最大值。
正确答案
见解析。
解析
(1)
知识点
已知抛物线的焦点为椭圆
的右焦点,且椭圆的长轴长为4,M、N是椭圆上的的动点。
(1)求椭圆标准方程;
(2)设动点满足:
,直线
与
的斜率之积为
,证明:存在定点
,使得
为定值,并求出
的坐标;
(3)若在第一象限,且点
关于原点对称,
垂直于
轴于点
,连接
并延长交椭圆于点
,记直线
的斜率分别为
,证明:
。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题设可知:因为抛物线的焦点为
,
所以椭圆中的又由椭圆的长轴为4得
故
故椭圆的标准方程为:
(2)设,
由可得:
由直线OM与ON的斜率之积为可得:
,即
由①②可得:
M、N是椭圆上的点,故
故,即
由椭圆定义可知存在两个定点,
使得动点P到两定点距离和为定值;
(3)设,由题设可知
,
由题设可知斜率存在且满足
.③
将③代入④可得:
⑤
点在椭圆
,
故
知识点
已知圆:
,若椭圆
:
(
)的右顶点为圆
的圆心,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线:
,若直线
与椭圆
分别交于
,
两点,与圆
分别交于
,
两点(其中点
在线段
上),且
,求
的值。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)设椭圆的焦距为,因为
,
,所以
………………2分
所以 所以椭圆
:
………………4分
(2)设(
,
),
(
,
)
由直线与椭圆
交于两点
,
,则
所以, 则
,
………………6分
所以………………8分
点(
)到直线
的距离
………………10分
则………………11分
显然,若点也在线段
上,则由对称性可知,直线
就是
轴,矛盾,
因为,所以
………………12分
所以
解得,即
………………14分
知识点
设为抛物线
上的两个动点,过
分别作抛物线
的切线
,与
分别交于
两点,且
,
(1)若,求点
的轨迹方程
(2)当所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:的面积为一个定值,并求出这个定值
正确答案
见解析。
解析
(1)设 ,
,
即
......①
同理, ......②
令 可求出
,
所以
由①,②,得
,
∴
(2)当所在直线过
的焦点时
(3)设 又由
得
所以
∴P到MN的距离为
∴
∴为定值
知识点
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