圆锥曲线的定点、定值问题
共43题

· 圆锥曲线的定点、定值问题

圆锥曲线的定点、定值问题
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题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点满足，且的面积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的动直线与椭圆相交于两点，直线与直线的交点为，证明：点总在直线上。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左焦点为，且椭圆C的离心率.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设椭圆C的上下顶点分别为，Q是椭圆C上异于的任一点，直线分别交x轴于点S，T，证明：为定值，并求出该定值；

（3）在椭圆C上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

正确答案

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椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．给定椭圆,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点.

①当为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；

②求证：为定值

正确答案

（1）

所以，椭圆方程：，

准圆方程：

（2）①易知且直线斜率存在，

设直线为

联立

因为椭圆与直线有且只有一个交点，

所以，因此’

所以的方程为

②<ⅰ>当的斜率存在时，设点，

设直线

由---（*）

同理，联立和椭圆方程可得：---（**）

由（*）（**）可知，是方程的两个根

，

因此是准圆的直径，所以

<ⅱ>当中有一条斜率不存在时，，此时

所以

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题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知点是椭圆E：（）上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，轴．

（1）求椭圆的方程

（2）设、是椭圆上两个动点，．求证：直线的斜率为定值；

正确答案

解：（1）∵PF1⊥x轴，

∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），

|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，

椭圆E的方程为：；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得

（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=（1,- ），

所以x1+x2=-2，y1+y2=（2-）………①

又，，

两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+ 4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②

以①式代入可得AB的斜率k=为定值；

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简答题 · 13 分

21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左焦点为，且椭圆C的离心率.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设椭圆C的上下顶点分别为，Q是椭圆C上异于的任一点，直线分别交x轴于点S，T，证明：为定值，并求出该定值；

正确答案

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