- 对心碰撞和非对心碰撞、散射
- 共327题
如图所示，1和2是放在水平地面上的两个小物块（可视为质点），与地面的滑动摩擦因数相同，两物块间的距离d=170 m ，它们的质量分别为m1=2 kg、m2=3 kg。现令它们分别以初速度v1=10 m/s和v2=2 m/s相向运动，经过时间t=20 s，两物块相碰，碰撞时间极短，碰后两者粘在一起运动。求：
（1）两物块相碰前瞬间的速度大小；
（2）从刚碰后到停止运动过程中损失的机械能。
正确答案
解：（1）因为两物块始终作减速运动，有可能出现在相碰前有物块停止运动，故应进行讨论。先假定在时间t内，都未停下。以a表示此加速度的大小，现分别以s1和s2表示它们走的路程，则有
解①②③三式并代入有关数据得
经过时间t，两物块的速度分别为
V2'为负值是不合理的，因为物块是在摩擦力作用下作减速运动，当速度减少至零时，摩擦力消失，加速度不复存在，v2'不可为负。V2'为负，表明物块2经历的时间小于t时已经停止运动。在时间t内，物块2停止运动前滑行的路程应是
解①③⑦式，代入有关数据得
由⑤⑥式求得刚要发生碰撞时物块1的速度
而物块2的速度
（2）设v为两物块碰撞后的速度，由动量守恒定律有
刚碰后到停止运动过程中损失的机械能
由
如图所示，半径R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道位于竖直平面内，与长CD=2.0m的绝缘水平面平滑连接。水平面右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E=40N/C，方向竖直向上，磁场的磁感应强度B=1.0T，方向垂直纸面向外。两个质量均为m=2.0×10-6 kg的小球a和b，a球不带电，b球带q=1.0×10-6 C的正电，并静止于水平面右边缘处。将a球从圆弧轨道顶端由静止释放，运动到D点与b球发生正碰，碰撞时间极短，碰后两球粘合在一起飞入复合场中，最后落在地面上的P点。已知小球a在水平面上运动时所受的摩擦阻力f=0.1mg，PN=
（1）小球a与b相碰后瞬间速度的大小v；
（2）水平面离地面的高度h；
（3）从小球a开始释放到落地前瞬间的整个运过程中ab系统损失的机械能ΔE。
正确答案
解：（1）设a球到D点时的速度为vD，从释放至D点，根据动能定理：
对a、b球，根据动量守恒定律mvD=2mv
解得：v=1.73m/s
（2）两球进入复合场后，由计算可知Eq=2mg，两球在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动轨迹示意图如图所示
洛仑兹力提供向心力
由图可知：r=2h
解得：h=2
（3）ab系统损失的机械能
或
解得
有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度v0与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示。
（1）已知滑块质量为m，碰撞时间为
（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑（经分析，A下滑过程中不会脱离轨道）。
a.分析A沿轨道下滑到任意一点的动量pA与B平抛经过该点的动量pB的大小关系；
b.在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°。求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度。
正确答案
解：（1）滑动A与B正碰，满足mvA-mVB=mv0 ①
由①②，解得vA=0，vB=v0根据动量定理，滑块B满足F·
解得
（2）a.设任意点到O点竖直高度差为d，B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒。选该任意点为势能零点，有EA=mgd，EB= mgd+
由于p=
A下滑到任意一点的动量总和是小于B平抛经过该点的动量
b.以O为原点，建立直角坐标系xOy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则
对B有x=v0t，y=
B的轨迹方程y=
在M点x=y，所以y=
因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同。设B水平和竖直分速度大小分别为
B做平抛运动，故
对A由机械能守恒得vA=
由④⑤⑥得
将③代入得
如图所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接。质量为m的小球从高为h处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为km的小球发生碰撞，碰撞前后两小球的运动方向处于同一水平线上。
（1）若两小球碰撞后粘连在一起，求碰后它们的共同速度；
（2）若两小球在碰撞过程中无机械能损失
a．为使两小球能发生第二次碰撞，求k应满足的条件；
b．为使两小球仅能发生两次碰撞，求k应满足的条件。
正确答案
解：（1）设质量为m的小球碰撞前的速度为v0，根据机械能守恒定律有
设两小球碰后的共同速度为V，根据动量守恒定律有
解得
（2）a．取水平向右方向为正方向，设碰后m与km的速度分别为v1与V1，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
解得
两小球若要发生第二次碰撞，需要v1<0，
由⑤⑥⑦解得：k＞3 ⑧
b．对于第二次碰撞，设v2与V2分别为m与km碰后的速度，由动量守恒和机械能守恒有
由⑤⑥⑧⑨解得
只要满足
由⑧
雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）不计空气阻力。
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v'n；
（2）若考虑重力的影响，
a．求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和v'1；
b．求第n次碰撞后雨滴的动能1/2mnv'n2。
正确答案
解：（1）不计重力，全过程中动量守恒，m0v0=mnv'n得
（2）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒
a．第1次碰撞前
第1次碰撞后m0v1=m1v'1
b．第2次碰撞前v22=v12+2gl
利用①式化简得
第2次碰撞后，利用②式得
同理，第3次碰撞后
……
第n次碰撞后
动能
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