热门试卷

解：（1）设C的标准方程为（a，b>0），

则由题意，

又

因此a=2，

C的标准方程为

C的渐近线方程为

即x-2y=0和x+2y=0。

（2）如图，由题意点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，

因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4，

故点M，N均在直线xEx+4yEy=4上，

因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4

设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组及

解得，

故

因为点E在双曲线上，有

所以。

解：(Ι)设直线方程为，

消去得，

所以    

=

故.                            

（Π）

方程为

整理得                    

同理得方程为  ；

联立方程      

得，

故的交点的纵坐标等于.                                

解：（1）由抛物线的定义，得，解得p=2

故抛物线C的方程为x2=4y。

（2）（i）依题意知，过点F'（0，-1）且与曲线C相切的直线的斜率存在，设其方程为y=kx-1，

由得x2-4kx+4=0

令Δ=0得k=±1

故所求的两条切线分别为l1：y=x-1；l2：y=-x-1

设l1交x轴于点A，l2交x轴于点B

由得A（1，0），

由得B（-1，0）

设△ABF'的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则

解得

故△ABF的外接圆方程为x2+y2=1，它过点F（0，1）。

（ii）命题：设F'为抛物线x2=2py外一点，若过点F'作抛物线的两条切线l1，l2，分别交x轴于A，B两点，则△ABF'的外接圆过此抛物线的焦点F，

证明：设l1，l2分别切抛物线x2=2py于P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则x1≠0，x2≠0

∵y'=，故l1，l2的方程分别为（x-x1）和y-y2=

由得

由得

由得F'

AB的垂直平分线方程为

AF′的垂直平分线方程为

它们的交点为

又，

故AF的中点为

所以，

∴。

解：（1）抛物线y2=2px的准线为，

于是，

∴p=2，

∴抛物线方程为y2=4x；

（2）∵点A的坐标是（4，4），

由题意得B（0，4），M（0，2），

又∵F（1，0），

∴，

∴，

则FA的方程为y=（x-1），MN的方程为，

解方程组，

∴；

（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2，

当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离；

当m≠4时，直线AK的方程为，即为，

圆心M（0，2）到直线AK的距离，

令d＞2，解得m＞1；

∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当m＜1时，直线AK与圆M相交。