- 磁场对运动电荷的作用
- 共2267题
如图10-16所示，带负电的粒子垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁场时速度偏离原方向60°角，已知带电粒子质量m=3×10-20kg，电量q=10-13C，速度v0=105m/s，磁场区域的半径R=3×10-1m，不计重力，求磁场的磁感应强度。
正确答案
画进、出磁场速度的垂线得交点O′，O′点即为粒子作圆周运动的圆心，据此作出运动轨迹AB，如图10-17所示。此圆半径记为r。
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动
【评析】
由于洛伦兹力总是垂直于速度方向，若已知带电粒子的任意两个速度方向，就可以通过作出两速度的垂线，找出两垂线的交点即为带电粒子做圆周运动的圆心。
一带电粒子在xOy平面内运动，其轨迹如图所示，它从O点出发，以恒定的速率v沿y轴正方向射出，经一段时间到达P点. 图中x轴上方的轨迹都是半径为R的半圆，下方都是半径为r的半圆，不计重力的影响.
（1）如果此粒子带正电，且以上运动分别是在两个不同的匀强磁场中发生的，试判断磁场的方向，并求出这两个匀强磁场的磁感应强度的大小之比.
（2）求此粒子由O点到P点沿x轴方向运动的平均速度的大小.
正确答案
（1）（2）
（1）z轴正方向. 设带电粒子的电荷量为q，质量为m，在y>0区域的磁场的磁感应强度为B1，y<0区域的磁场的磁感应强度为B2，粒子受洛仑兹力作用而做匀速圆周运动
则有
粒子在y>0区域
联立解得
（2）粒子在磁场中均速圆周运动的周期
在y>0区域的周期，在y<0区域的周期
粒子在一个周期内沿x轴移动的距离x=2(R－r)
粒子由O点到P点沿x轴方向运动的平均速度
一个质量＝0.1 g的小滑块，带有＝5×10-4 C的电荷量，
(1)小滑块带何种电荷？
(2)小滑块离开斜面的瞬时速度多大？
(3)该斜面的长度至少多少？
正确答案
解：(1)小滑块沿斜面下滑过程中，受重力、斜面支持力和洛伦兹力，若要小滑块离开斜面，洛伦兹力方向应垂直斜面向上，根据左手定则可知，小滑块应带负电荷
(2)小滑块沿斜面下滑时，垂直斜面方向的加速度为零，有
＋－cosα＝0
当＝0时，小滑块开始脱离斜面，此时＝cosα，得
＝
(3)下滑过程中，只有重力做功，由动能定理得sinα＝
如图所示，质量为m，带电荷量为q的小球用长为L的绝缘细线悬挂于O点，处于垂直纸面向里的匀强磁场中，竖直虚线左边有正交的匀强电场和匀强磁场B2；现将小球拉至悬线与竖直方向成θ角，由静止释放，当小球运动到最低点A时，悬线在与小球连接处突然断开，此后小球沿水平虚线向左运动，求：
(1)小球所带电荷的电性；
(2)竖直虚线右边匀强磁场B1的大小；
(3)小球越过竖直虚线进入左侧场区后仍沿水平虚线做直线运动，则电场强度为多大？
正确答案
解：(1)由小球在磁场B1中小球与悬线断开后做匀速直线运动可知，小球带负电
(2)设小球在最低点的速度为vAmgL(1－cosθ)＝
qvAB1＝mg ②
由①②得：B1＝
(3)由平衡条件得：qvB2＋Eq＝mg ③
所以E＝
如图所示，质量m=0.1g的小物块，带有5×10-4C的电荷，放在倾角为30°的光滑绝缘斜面上，整个斜面置于B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面指向纸里，物块由静止开始下滑，滑到某一位置时，开始离开斜面，g取10m/s2，求：
（1）物块带什么电？
（2）物块离开斜面时速度多大？
（3）斜面至少有多长？
正确答案
（1）由题意可知：小滑块受到的安培力垂直斜面向上．根据左手定则可得：小滑块带负电．
（2）当物体离开斜面时，弹力为零，因此有：qvB=mgcos30°，
得：v=
（3）由于斜面光滑，物体在离开斜面之前一直做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：
mgsin30°=ma，
由匀变速直线运的速度位移公式得：v2=2ax，
解得：x=1.2m．
答：（1）物体带负电．
（2）物体离开斜面时的速度为=2
（3）物体在斜面上滑行的最大距离是1.2m．
（15分）真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示，从O点在纸面内向各个方向发射速率均为v0的电子，设电子间相互作用忽略，且电子在磁场中偏转半径也为r．已知电子的电量为e，质量为m．
（1）圆柱形区域匀强磁场的磁感应强度大小为多少？
（2）速度方向与Ox方向夹角成90°的电子，在磁场中的运动时间为多少？
（3）在x轴上有一点p，距O点的距离为3r，要使从O点发射的速率均为v0的电子，从磁场边界出来后都能够汇聚到p点，请在图中虚线MN右侧添加一个匀强磁场，并说明磁感应强度大小和方向及分布情况。
正确答案
（1）
区域：与X轴相切于P点，在X轴上方，半径为r的圆
试题分析：（1）粒子进入磁场后，根据洛伦兹力提供向心力
（2）速度方向与Ox方向夹角成90°的电子，进入垂直于纸面向里的磁场，根据左手定则判断电子在磁场中运动圆心角为90°相当于0.25个周期。
根据洛伦兹力提供向心力，
（3）为了使从O点发射的速率均为v0的电子，从磁场边界出来后都能够汇聚到p点，需要施加如答案的圆形区域磁场。
点评：此类题型考察了洛伦兹力提供向心力，并考察了粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角，此类题型的常见做法是定圆心，找半径、画轨迹，本题属于比较经典的题型。
（16分）如图所示，在xoy平面内第二象限的某区域存在一个矩形匀强磁场区，磁场方向垂直xoy平面向里，边界分别平利于x轴和y轴。一电荷量为e、质量为m的电子，从坐标原点为O以速度v0射入第二象限，速度方向与y轴正方向成45°角，经过磁场偏转后，通过P（0，a）点，速度方向垂直于y轴，不计电子的重力。
（1）若磁场的磁感应强度大小为B0，求电子在磁场中运动的时间t；
（2）为使电子完成上述运动，求磁感应强度的大小应满足的条件；
（3）若电子到达y轴上P点时，撤去矩形匀强磁场，同时在y轴右侧加方向垂直xoy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B1，在y轴左侧加方向垂直xoy平面向里的匀强电场，电子在第（k+1）次从左向右经过y轴（经过P点为第1次）时恰好通过坐标原点。求y轴左侧磁场磁感应强度大小B2及上述过程电子的运动时间t。
正确答案
解：（1）如图甲所示，
电子在磁场中转过的角度θ=3π/4。
运动周期T=2πm/eB0。t=θT/2π，联立解得t=3πm/4eB0。
（2）设磁感应强度最小值为Bmin，对应的最大回旋半径为R，圆心O1.则有，ev0Bmin=m
联立解得：Bmin=
磁感应强度的大小应满足的条件为：B≥
（3）设电子在y轴右侧和左侧做圆周运动的半径分别为r1和r2，则有，
ev0B1=m
由图乙的几何关系可知，
2k(r1-r2)=a
联立解得：B2=
设电子在y轴右侧和左侧做圆周运动的周期分别为T1和T2，则有，
T1=2πm/eB1，T2=2πm/eB2。
t=k(T1+T2)/2
联立解得，t=-。
画出带电粒子在磁场中运动的轨迹图，应用洛伦兹力等于向心力、图中几何关系及其相关知识列方程解答。
如图所示，套在很长的绝缘直棒上的小球，其质量为m，带电荷量是+q，小球可在棒上滑动，将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度为E，磁感应强度是B，小球与棒的动摩擦因数为μ，求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度．（设小球带电荷量不变）
正确答案
解：小球的受力情况如题图所示
由于N=qE+qvB，所以F合=mg-μN= mg-μ(qE+qvB)
可见随着v的增大，F合减小，由牛顿第二定律可知，小球先做加速度越来越小的变加速运动，最后做匀速直线运动
故当v=0时，a最大，
当F合=0，即a=0时v有最大值vmax，即mg-μ(qvmaxB+qE) =0，
如图所示，一带电为-q的小球，质量为m，以初速度v0竖直向上射入水平方向的匀强磁场中，磁感应强度为B。当小球在竖直方向运动h高度时，球在b点上所受的磁场力多大？
正确答案
qB
（18分）如图，两根足够长平行光滑的金属导轨相距为l，导轨与水平面夹角为θ,并处于磁感应强度为B2、方向垂直导轨平面向下的匀强磁场中。两金属导轨的上端与阻值为R的灯泡连接，并连接水平放置、长和宽都为d的平行金属板，板内存在垂直纸面向里的磁感应强度为B1的匀强磁场。长为l的金属棒ab垂直于金属导轨，且始终与导轨接触良好。当金属棒固定不动时，质量为m、电荷量为q的粒子流沿中线射入金属板内，恰好在金属板的左下边沿穿出。粒子重力不计，重力加速度为g，导轨和金属棒的电阻不计。
（1） 粒子流带何种电荷，速度多大？
（2） 现将金属棒由静止释放，待棒沿导轨匀速下滑后，粒子流水平通过，求金属棒质量M。
正确答案
（1）
试题分析：（1） 由左手定则，可判定粒子流带正电。 ………（2分）
粒子流在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律，
得：
粒子流恰好在金属板的边沿穿出，由几何关系得
解得
故
（2） 对匀速通过金属板的粒子流，其所受的电场力等于洛伦兹力，有：
金属板的电压
金属棒受到的安培力 
棒做匀速运动，由力的平衡条件，有：
联立式子，解得：
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