直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以为其一条渐近线，则双曲线方程为______，过其右焦点且长为4的弦有______条．

正确答案

解析

解：由双曲线与椭圆有相同的焦点，可设双曲线的方程为，

以为其一条渐近线，所以，①6=a2+b2②，

由①②解得：a2=4，b2=2．

所以双曲线的方程为；

右焦点坐标为（），当过右焦点的直线垂直x轴时，代入双曲线方程得y=±1，即弦长为2＜4，故过右焦点的在右支上有2条弦长为4的直线，

加上过右焦点的x轴的弦长为2+2=4．故一共有3条．

故答案为：；3

题型：简答题

简答题

设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=-4．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若=2（+）（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求△EAB的面积；

（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2．

求证：当k0为定值时，k1+k2也为定值．

正确答案

解：（1）点F（，0），设直线l的方程为x-=my，

则与y2=2px联立，消去x得，

y2-2pmy-p2=0，

又∵经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=-4．

∴y1y2=-p2=-4，

∴p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x．

（2）∵=2（+）=（2（x1+x2），2（y1+y2）），

∴点E（2（x1+x2），2（y1+y2）），

则由题意得，

，

不妨设m＞0，

解得，m=，|y1-y2|=2，点E（8，4），

直线l的方程为2x-y-2=0，

则|AB|==6，

点E到直线l的距离d==，

则S△EAB=×6×=3．

（3）设点M（-1，y），则

k0=，则y=-2k0，

k1+k2=+=

又∵y1y2=-4，y1+y2=4m，

则k1+k2=

==-y=2k0．

∵k0为定值，

∴k1+k2=2k0也为定值．

解析

解：（1）点F（，0），设直线l的方程为x-=my，

则与y2=2px联立，消去x得，

y2-2pmy-p2=0，

又∵经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=-4．

∴y1y2=-p2=-4，

∴p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x．

（2）∵=2（+）=（2（x1+x2），2（y1+y2）），

∴点E（2（x1+x2），2（y1+y2）），

则由题意得，

，

不妨设m＞0，

解得，m=，|y1-y2|=2，点E（8，4），

直线l的方程为2x-y-2=0，

则|AB|==6，

点E到直线l的距离d==，

则S△EAB=×6×=3．

（3）设点M（-1，y），则

k0=，则y=-2k0，

k1+k2=+=

又∵y1y2=-4，y1+y2=4m，

则k1+k2=

==-y=2k0．

∵k0为定值，

∴k1+k2=2k0也为定值．

题型：简答题

简答题

（2014秋•建瓯市校级月考）直线y-ax-1=0与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

正确答案

解：在方程组中消去y得，（3-a2）x2-2ax-2=0；

①当a≠±时，△=（-2a）2+8（3-a2）=24-4a2，

由△＞0得，且a≠±时，方程组有两组有两解，

此时直线与双曲线有两个交点，若要A、B在双曲线同一支上，则方程①的两根同号，

故x1•x2=0，

∴a＞或a＜-．

∴当或时，

A、B两点在双曲线的同一支上；

当时，A、B两点在双曲线的两支上．

解析

解：在方程组中消去y得，（3-a2）x2-2ax-2=0；

①当a≠±时，△=（-2a）2+8（3-a2）=24-4a2，

由△＞0得，且a≠±时，方程组有两组有两解，

此时直线与双曲线有两个交点，若要A、B在双曲线同一支上，则方程①的两根同号，

故x1•x2=0，

∴a＞或a＜-．

∴当或时，

A、B两点在双曲线的同一支上；

当时，A、B两点在双曲线的两支上．

题型：填空题

填空题

在直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，0）关于原点O对称．点P（x0，y0）在抛物线y2=4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0=______．

正确答案

解析

解：∵点B与点A（-1，0）关于原点O对称，∴B（1，0）．

∴，，

∵kAP•kBP=2，

∴，

又∵点P（x0，y0）在抛物线y2=4x上，∴．

代入得到，化为，

解得=．

∵x0＞0，

∴x0=．

故答案为．

题型：简答题

简答题

已知椭圆的离心率为，右焦点为（，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）求△PAB的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，右焦点为（，0），

∴，解得a=2，

∴b==2，

∴椭圆G的方程为．

（Ⅱ）设l：y=x+b，

代入，得4x2+6bx+3b2-12=0，

根据韦达定理，，

∴yA+yB=，

设M为AB的中点，则M（-，），AB的中垂线的斜率k=-1，

∴AB的中垂线：x+y+=0，将P（-3，2）代入，得b=2，

∴l：x-y+2=0，根据弦长公式可得AB=3，d=，

∴S△PAB==．

解析

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，右焦点为（，0），

∴，解得a=2，

∴b==2，

∴椭圆G的方程为．

（Ⅱ）设l：y=x+b，

代入，得4x2+6bx+3b2-12=0，

根据韦达定理，，

∴yA+yB=，

设M为AB的中点，则M（-，），AB的中垂线的斜率k=-1，

∴AB的中垂线：x+y+=0，将P（-3，2）代入，得b=2，

∴l：x-y+2=0，根据弦长公式可得AB=3，d=，

∴S△PAB==．

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