直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知一曲线是与两个定点A（-3，0）、B（3，0）的距离之比为的点的轨迹，求此曲线的方程．

正确答案

解：设此曲线上的任意一点P（x，y），则

|AP|=，|BP|=；

由题意可得，

=，

即=2；

即（x+5）2+y2=16．

解析

解：设此曲线上的任意一点P（x，y），则

|AP|=，|BP|=；

由题意可得，

=，

即=2；

即（x+5）2+y2=16．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，点Q到点F（1，0）与到直线x=4的距离之比为．

（1）求点Q的轨迹方程E；

（2）若点A，B分别是轨迹E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点M是直线l上不同于点B的任意一点，直线AM交轨迹E于点P．

（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；

（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

正确答案

（1）解：设Q（x，y），则

∵点Q到点F（1，0）与到直线x=4的距离之比为，

∴=，

化简可得点Q的轨迹方程E：；

（2）（ⅰ）证明：设P（x0，y0）（y0≠0），

则直线AP的方程为：y=（x+2）

令x=2得M（2，）

∴k1=，

∵k2=，

∴k1k2=，

∵P（x0，y0）在椭圆上，∴

∴k1k2═-为定值．

（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，

则直线m的方程为，

∴y=（x-2）+y0=x-+=（x+1），

∴直线m过定点（-1，0）．

解析

（1）解：设Q（x，y），则

∵点Q到点F（1，0）与到直线x=4的距离之比为，

∴=，

化简可得点Q的轨迹方程E：；

（2）（ⅰ）证明：设P（x0，y0）（y0≠0），

则直线AP的方程为：y=（x+2）

令x=2得M（2，）

∴k1=，

∵k2=，

∴k1k2=，

∵P（x0，y0）在椭圆上，∴

∴k1k2═-为定值．

（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，

则直线m的方程为，

∴y=（x-2）+y0=x-+=（x+1），

∴直线m过定点（-1，0）．

题型：简答题

简答题

已知动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若点M是圆C：x2+（y-3）2=1上的动点，求|PM|+|PF|的最大值及此时的P点坐标．

正确答案

解：（1）设P（x，y），由题意得：，化简可得

∴动点P的轨迹方程为----（5分）

（2）∵点M是圆C：x2+（y-3）2=1上的动点，∴|PM|≤|PC|+1，-------（6分）

设椭圆的左焦点为F1（-1，0），依据椭圆的定义知，|PF|=4-|PF1|，------（7分）

∴|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF1|=|PC|-|PF1|+5≤|CF1|+5，

当点P是CF1延长线与椭圆的交点时，|PC|-|PF1|取得最大值，

∴|PM|+|PF|的最大值为，------（10分）

此时直线CF1的方程是y=3x+3，

点P的坐标是方程组的解，消去y得，13x2+24x+8=0，----（11分）

解得，

∴，，----（13分）

此时的P点坐标为（，）．-------------（14分）

解析

解：（1）设P（x，y），由题意得：，化简可得

∴动点P的轨迹方程为----（5分）

（2）∵点M是圆C：x2+（y-3）2=1上的动点，∴|PM|≤|PC|+1，-------（6分）

设椭圆的左焦点为F1（-1，0），依据椭圆的定义知，|PF|=4-|PF1|，------（7分）

∴|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF1|=|PC|-|PF1|+5≤|CF1|+5，

当点P是CF1延长线与椭圆的交点时，|PC|-|PF1|取得最大值，

∴|PM|+|PF|的最大值为，------（10分）

此时直线CF1的方程是y=3x+3，

点P的坐标是方程组的解，消去y得，13x2+24x+8=0，----（11分）

解得，

∴，，----（13分）

此时的P点坐标为（，）．-------------（14分）

题型：简答题

简答题

平面内动点M与点P1（-2，0），P2（2，0）所成直线的斜率分别为k1、k2，且满足．

（1）求点M的轨迹E的方程，并指出E的曲线类型；

（2）设直线l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y 轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且|AC|=|BD|，求k的值及△NCD面积取得最大时直线l的方程．

正确答案

解：（1）设动点M的坐标为（x，y），∵k1•k2=-，∴，即=1（y≠0）

动点M的轨迹E是中心在原点，半长轴为2，焦点为（±，0）的椭圆

（除去长轴两个端点．）它的方程是=1（y≠0）．

（2）在，AB的中点为

设C（x1，y1），D（x2，y2），由-4=0△=32k2-8m2+16，x1+x2=-，

∵|AC|=|BD|，∴CD中点就是AB中点，

即-，∵k＞0，∴k=（2）|CD|=

点N到CD的距离d=|m|，S△NCD=|m|=

当且仅当4-m2=m2时等号成立，即m2=2，m=±，此时△＞0，

所以直线的方程为l：y=．

解析

解：（1）设动点M的坐标为（x，y），∵k1•k2=-，∴，即=1（y≠0）

动点M的轨迹E是中心在原点，半长轴为2，焦点为（±，0）的椭圆

（除去长轴两个端点．）它的方程是=1（y≠0）．

（2）在，AB的中点为

设C（x1，y1），D（x2，y2），由-4=0△=32k2-8m2+16，x1+x2=-，

∵|AC|=|BD|，∴CD中点就是AB中点，

即-，∵k＞0，∴k=（2）|CD|=

点N到CD的距离d=|m|，S△NCD=|m|=

当且仅当4-m2=m2时等号成立，即m2=2，m=±，此时△＞0，

所以直线的方程为l：y=．

题型：简答题

简答题

已知B1，B2为椭圆C1：短轴的两个端点，F为椭圆的一个焦点，△B1FB2为正三角形，

（I）求椭圆C1的方程；

（II）设点P在抛物线C2：y=上，C2在点P处的切线与椭圆C1交于A、C两点，若点P是线段AC的中点，求AC的直线方程．

正确答案

解：（I）∵B1（0，-1），B2（0，1），设F（c，0）

∵△B1FB2为正三角形

∴c= …（2分）

∴a2=c2+b2=4

∴椭圆C1的方程是…（4分）

（II）设A（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0）

∵函数y=的导数为y′=

∴直线AC的斜率 KAC=…（6分）

∵A，C在椭圆上，

∴ （1）-（2）得：

=0…（9分）

∴直线AC的斜率kAC=

又∵得

x0（x02-2）=0，

解得：x0=0或x0=± …（13分）

当x0=0时，P点坐标为（0，-1），直线AC与椭圆相切，舍去；

当x0=± 时，点P的坐标为（±，-），显然在椭圆内部，

所以直线AC的方程是：y=±x- …（15分）

解析

解：（I）∵B1（0，-1），B2（0，1），设F（c，0）

∵△B1FB2为正三角形

∴c= …（2分）

∴a2=c2+b2=4

∴椭圆C1的方程是…（4分）

（II）设A（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0）

∵函数y=的导数为y′=

∴直线AC的斜率 KAC=…（6分）

∵A，C在椭圆上，

∴ （1）-（2）得：

=0…（9分）

∴直线AC的斜率kAC=

又∵得

x0（x02-2）=0，

解得：x0=0或x0=± …（13分）

当x0=0时，P点坐标为（0，-1），直线AC与椭圆相切，舍去；

当x0=± 时，点P的坐标为（±，-），显然在椭圆内部，

所以直线AC的方程是：y=±x- …（15分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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