热门试卷

解：（Ⅰ）由椭圆C的方程为+y2=1．

得其“准圆”方程为x2+y2=4．

则P点坐标为（0，2），∵直线l过P且与椭圆C只有一个交点，

则直线l的方程可设为y=kx+2，将其代入椭圆方程可得：

x2+3（kx+2）2=3，即（3k2+1）x2+12kx+9=0．

由△=（12k）2-36（3k2+1）=0，解得k=±1，

∴直线l1 的方程为y=x+2，l2 的方程为y=-x+2，

或直线l1 的方程为y=-x+2，l2 的方程为y=x+2；

（Ⅱ）如图，

由题意可设B（m，n），D（m，-n）（），

则有，

又点A的坐标为（2，0），故．

故

=．

又，

故．

∴的取值范围是[0，7+4）．

解：（Ⅰ）由椭圆的定义知a=，又，∴b2=2，c2=a2-b2=1．

∴椭圆P（x0，y0）的方程是．

∵，∴，

∴，

∴，

又，故|y1-y2|=4．

（Ⅱ）假设存在一点Q（m，0），使得直线QA、QB的倾斜角互为补角，

依题意可知直线l、QA、QB斜率存在且不为零．

设直线l的方程为y=k（x-1）代入椭圆的方程消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）则

∵直线QA、QB的倾斜角互为补角，

∴kQA+kQB=0，∴．

又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0，

∴，

化为2m-6=0，解得m=3，

∴存在Q（3，0）使得直线QA、QB的倾斜角互为补角．

（Ⅰ）解：∵等轴双曲线的离心率为，

∴由离心率互为倒数，得椭圆的离心率为e=，即e2===，

即a2=2b2，

∵直线l：x-y+=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆x2+y2=b2相切．

∴b=1，a2=2，

即椭圆的方程为：+y2=1．

（Ⅱ）证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB：：y=kx+m，m≠±1，M（0，1）

设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程和直线方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，

x1+x2=-，x1x2=，由已知k1+k2=4，可得=4

即=4，2k-4+（m-1）=0，

将x1+x2，x1x2代入得到，k=2（m+1），即m=-1，

则AB：y=kx+-1，即y=k（x+）-1，AB恒过定点（-，-1）；

②若直线AB斜率不存在，设AB：x=x0，则A（x0，y0），B（x0，-y0），由=4，

得x0=-，故直线AB：x=-，故直线AB也过定点（-，-1）．

综上，直线AB恒过定点（-，-1）．

（Ⅲ）设直线l：y=tx+2，设D（x3，y3），E（x4，y4），联立椭圆方程和直线l的方程，

得到（1+2t2）x2+8tx+6=0

由△＞0得t2＞，x3+x4=-，x3x4=，

则|DE|=|x3-x4|=

由O到直线l的距离d=，

故△ODE的面积S=d•|DE|=，

令u=＞0，则2t2=u2+3，

则S==≤=．

当且仅当u=2，即t=，|DE|=，△ODE的面积最大．

解：（1）由已知F1（0，1），

∴a2-b2=1，①

设M（x0，y0），（x0＜0），

则|MF1|=，解得，，

∴．②

由①②得a2=4，b2=3．

故椭圆的方程为．

（2）由题意，圆过原点，设G（x1，y1），H（x2，y2），

∵GH是圆的直径，

∴x1x2+y1y2=0．

设P（x3，y3），则，

∴-；

又GH的中心是（0，-1），

∴x1+x2=0，y1+y2=-2，而，

∴，

∴，

又∵-2≤y3≤2，

∴当y3=2时，最大，并且最大值为8．

（3）∵直线l：y=k（x+t），（t≠0）与圆x2+（y+1）2=1相切，

∴⇒k=，（t≠0）．③

将直线y=k（x+t）代入椭圆方程，整理得

（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2-12=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则=k（x1+t）+k（x2+t）=k（x1+x2）+2kt=，

∵，

∴P（），

又P在椭圆上，

∴，解得，

将③代入整理得：（t≠0）

∴0＜λ2＜4，

∴λ的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．