热门试卷

解：（1）依题意，得a=2，，

∴c=，b==1，

故椭圆C的方程为．…（3分）

（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，

设M（x1，y1），N（x1，-y1），不妨设y1＞0．

由于点M在椭圆C上，所以．     （*）          …（4分）

由已知T（-2，0），则，，

∴

=（x1+2）2-

=

=．…（6分）

由于-2＜x1＜2，

故当时，取得最小值为．

由（*）式，，故，

又点M在圆T上，代入圆的方程得到．

故圆T的方程为：．…（8分）

方法二：点M与点N关于x轴对称，

故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），

不妨设sinθ＞0，由已知T（-2，0），

则

=（2cosθ+2）2-sin2θ

=5cos2θ+8cosθ+3

=．…（6分）

故当时，取得最小值为，

此时，

又点M在圆T上，代入圆的方程得到．

故圆T的方程为：． …（8分）

（3）方法一：设P（x0，y0），

则直线MP的方程为：，

令y=0，得，

同理：，…（10分）

故      （**） …（11分）

又点M与点P在椭圆上，

故，，…（12分）

代入（**）式，

得：．

所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．               …（14分）

方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），

不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．

则直线MP的方程为：，

令y=0，得，

同理：，…（12分）

故．

所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．…（14分）