热门试卷

解：（Ⅰ）∵椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，

点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，

∴b=2，，

所求椭圆方程为． …（5分）

（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，

依题意m≠±2．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0．…（7分）

则，．

∵，

∴，

即2k+（m-2）•=8．…（10分）

所以k=-，整理得 m=．

故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）-2．

所以直线AB过定点（-，-2）． …（12分）

若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，

设A（x0，y0），B（x0，-y0），

由已知，

得．此时AB方程为x=-，显然过点（-，-2）．

综上，直线AB过定点（-，-2）．…（13分）

解：（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，（1分）

代入椭圆方程并化简得：5x2+16x+12=0，（2分）

解之得，∴．（4分）

（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），

则化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0．（6分）

∵此方程有一根为-2，∴，（7分）

同理可得．（8分）

由（1）知若存在定点，则此点必为．（9分）

∵，（11分）

同理可计算得．（13分）

∴直线MN过x轴上的一定点．（16分）

解：（Ⅰ）曲线C的方程x2=4y（5分）

（Ⅱ）（ⅰ）设E（a，-2），，

∵过点A的抛物线切线方程为，

∵切线过E点，∴，整理得：x12-2ax1-8=0

同理可得：x22-2ax2-8=0，∴x1，x2是方程x2-2ax-8=0的两根，∴x1+x2=2a，x1•x2=-8可得AB中点为

又，

∴直线AB的方程为即，∴AB过定点（0，2）（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）知AB中点，直线AB的方程为

当a≠0时，则AB的中垂线方程为，

∴AB的中垂线与直线y=-2的交点∴

∵

若△ABM为等边三角形，则，

∴，

解得a2=4，∴a=±2，此时E（±2，-2），

当a=0时，经检验不存在满足条件的点E

综上可得：满足条件的点E存在，坐标为E（±2，-2）．（15分）

（Ⅰ）解：由题设，∵椭圆经过点M（-2，-1），离心率为．

∴，①且=，②

由①、②解得a2=6，b2=3，

∴椭圆C的方程为．…（6分）

（Ⅱ）证明：记P（x1，y1）、Q（x2，y2）．

设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k2）x2+（8k2-4k）x+8k2-8k-4=0，

∵-2，x1是该方程的两根，∴-2x1=，即x1=．

设直线MQ的方程为y+1=-k（x+2），同理得x2=．…（9分）

因y1+1=k（x1+2），y2+1=-k（x2+2），

故kPQ====1，

因此直线PQ的斜率为定值．…（12分）