热门试卷

解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）

∵M是FQ的中点，

∴⇒，又Q是OP的中点

∴⇒，

∵P在抛物线y2=4x上，∴（4y）2=4（4x-2），

所以M点的轨迹方程为

解：（1）设交点为（x，y），则

由题意，=，可得a=2b，代入，可得x2+4y2=4b2①，

又x2+y2=8②，2x•2y=16③，

∴由①②③可得x=y=2，b=，

∴曲线C1的标准方程；

（2）设椭圆上存在关于直线y=x+m对称的两点为A（x1，y1），B（x2，y2）

根据对称性可知线段AB被直线y=x+m垂直平分，且AB的中点M（x0，y0）在直线y=x+m上，且KAB=-1

故可设直线AB的方程为y=-x+b

联立方程，整理可得5x2-8bx+4b2-20=0

∴x1+x2=，y1+y2=2b-（x1+x2）=

由△=64b2-20（4b2-20）＞0可得-5＜b＜5

∴x0=，y0=

∵AB的中点在直线y=x+m上

∴，

∴m=-

∴-3＜m＜3．

解：（1）设P（x，y），则

∵点（p＞0，p是常数），且动点P到x轴的距离比到点F的距离小，

∴|y|=+，化简可得x2=2py；

（2）（i）设A，B两点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．

∵，可得M为AB的中点，即x1+x2=4．

显然直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y-2=k（x-2），即y=kx+2-2k，

将y=kx+2-2k代入x2=2py中，得x2-2pkx+4（k-1）p=0．…（2分）

∴，∴p＞1，故p的取值范围为（1，+∞）．

（ii）当p=2时，由（i）求得A，B的坐标分别为A（0，0），B（4，4）．

假设抛物线L：x2=4y上存在点（t≠0且t≠4），使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．

设圆的圆心坐标为N（a，b），

∵，∴，

即，解得

∵抛物线L在点C处切线的斜率为，而t≠0，且该切线与NC垂直，

∴，即．

将，代入上式，得t3-2t2-8t=0．

即t（t-4）（t+2）=0．∵t≠0且t≠4，∴t=-2．

故满足题设的点C存在，其坐标为 （-2，1）．

解：（I）设动点B（x，y）．

当x≠±2时，由条件可得•=•==m

即mx2-y2=4m（x≠±2）．

又A1（-2，0）、A2（2，0）的坐标满足mx2-y2=4m．

当m＜-1时，曲线C的方程为+=1，曲线C是焦点在y轴上的椭圆；

当m=-1时，曲线C的方程为x2+y2=4，曲线C是圆心在原点上的圆；

当-1＜m＜0时，曲线C的方程为+=1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；

（Ⅱ）由（I）知，曲线C的方程为+=1．

依题意，直线l1的方程为y=k（x-1）．

代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则

由韦达定理得：x1+x2=-，x1x2=

∴弦MN的中点为P（，）

∴|MN|==

直线l2的方程为

由y=0，可得x=，则Q（，0），

∴|PQ|=

∴=

∵k2+1＞1，∴0＜＜1

∴

∴的取值范围为（0，）．