- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）当直线l：y=x+m与椭圆C相交时，求m的取值范围；
（3）设直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若以为AB直径的圆过原点，求m的值．
正确答案
解：（1）直线x+2y-2=0与坐标轴交于两点（2，0），（0，1），
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为
（2）直线y=x+m代入椭圆方程，消去y整理得：5x2+8mx+4m2-4=0，
∵直线l：y=x+m与椭圆C相交，
∴△=（8m）2-4×5×（4m2-4）＞0，
即-16m2+80＞0，解得-
（3）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由（2）得x1+x2=-
∵以为AB直径的圆过原点，
∴
∴
∴x1x2+y1y2=0，
∴2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，
即2•
解得m=±
解析
解：（1）直线x+2y-2=0与坐标轴交于两点（2，0），（0，1），
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为
（2）直线y=x+m代入椭圆方程，消去y整理得：5x2+8mx+4m2-4=0，
∵直线l：y=x+m与椭圆C相交，
∴△=（8m）2-4×5×（4m2-4）＞0，
即-16m2+80＞0，解得-
（3）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由（2）得x1+x2=-
∵以为AB直径的圆过原点，
∴
∴
∴x1x2+y1y2=0，
∴2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，
即2•
解得m=±
已知椭圆
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若线段AB的中点的横坐标为-
（Ⅲ）在x轴上是否存在点M，使
正确答案
解：（Ⅰ）∵椭圆离心率为
又∵椭圆过点（
∴椭圆方程为
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直线L过点C（-1，0）且斜率为k，∴直线方程为y=k（x+1），
由
∵线段AB的中点的横坐标为-
即
（Ⅲ）在x轴上存在点M
证明：假设在x轴上存在点M（m，0），使
由（Ⅱ）得，
∵
∴
若上式是与K无关的常数，则6m-1=0，∴
即在x轴上存在点M（
解析
解：（Ⅰ）∵椭圆离心率为
又∵椭圆过点（
∴椭圆方程为
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直线L过点C（-1，0）且斜率为k，∴直线方程为y=k（x+1），
由
∵线段AB的中点的横坐标为-
即
（Ⅲ）在x轴上存在点M
证明：假设在x轴上存在点M（m，0），使
由（Ⅱ）得，
∵
∴
若上式是与K无关的常数，则6m-1=0，∴
即在x轴上存在点M（
已知椭圆E：
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线y=-x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足
正确答案
解（Ⅰ）由题意：
解得：a2=4，b2=1，即：椭圆E的方程为
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以
由
得
又方程（*）要有两个不等实根，
所以m=±2．
解析
解（Ⅰ）由题意：
解得：a2=4，b2=1，即：椭圆E的方程为
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以
由
得
又方程（*）要有两个不等实根，
所以m=±2．
已知抛物线y2=x，则过P（1，1）与抛物线有且只有一个交点的直线有（ ）条．
正确答案
解析
当直线存在斜率时，设直线方程为：y-1=k（x-1），
由
当k=0时，方程为：-x+1=0，得x=1，此时只有一个交点（1，1），直线与抛物线相交；
当k≠0时，令△=（2k-1-2k2）2-4k2（k2-2k+1）=0，化简得，4k2-4k+1=0，
解得k=
综上，满足条件的直线有两条：方程为y=1，x-2y+1=0，如右图所示：
故选B．
若点A是圆x2+y2=1上任意一点，过A作该圆的切线l，则l与下列曲线一定有公共点的是（ ）
Ay2=x
B
C（x-2）2+y2=4
D
正确答案
解析
解：A．若过点（-1，0）作圆x2+y2=1的切线l：x=-1，则与y2=x无交点；
B．若过点（-1，0）作圆x2+y2=1的切线l：x=-1，则与
C．若过点（-1，0）作圆x2+y2=1的切线l：x=-1，则与（x-2）2+y2=4（0≤x≤4）无交点；
D．如图所示，圆x2+y2=1上的所有点（除了点（0，±1）在椭圆上）其余的点都在椭圆内部，因此过圆上的A作该圆的切线l，则l与椭圆一定有公共点．
综上可知：只有D满足题意．
故选D．
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