- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为双曲线
（1）求这两条曲线的标准方程；
（2）已知点P在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点P的坐标．
正确答案
解：（1）∵抛物线y2=2px（p＞0）经过点M（2，4），
∴42=2p×2，解得p=4，
∴抛物线的标准方程为y2=8x．…（3分）
∴抛物线的焦点为（2，0），
∴双曲线的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）．
法一：∴
∴
∴
∴双曲线的标准方程为
法二：a2+b2=c2=4，∵双曲线经过点M（2，4），∴
解得 
∴双曲线的标准方程为
（2）设点P的坐标为（xp，yp），
由题意得，
∴yP=±2，…（11分）
∵点P在抛物线上，∴
∴点P的坐标为
解析
解：（1）∵抛物线y2=2px（p＞0）经过点M（2，4），
∴42=2p×2，解得p=4，
∴抛物线的标准方程为y2=8x．…（3分）
∴抛物线的焦点为（2，0），
∴双曲线的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）．
法一：∴
∴
∴
∴双曲线的标准方程为
法二：a2+b2=c2=4，∵双曲线经过点M（2，4），∴
解得
∴双曲线的标准方程为
（2）设点P的坐标为（xp，yp），
由题意得，
∴yP=±2，…（11分）
∵点P在抛物线上，∴
∴点P的坐标为
若抛物线y2=2px的焦点与双曲线
正确答案
4
解析
解：抛物线的焦点F为（
双曲线
由已知得
∴p=4．
故答案为4
设e1、e2为焦点在x轴上且具有公共焦点F1、F2的标准椭圆和标准双曲线的离心率，O为坐标原点，P是两曲线的一个公共点，且满足2
A2
B
C
D1
正确答案
解析
解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c
并设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，m-n=2a2，
解得m=a1+a2，n=a1-a2，
∵2
∴（a1+a2）2+（a1-a2）2=（2c）2
化简可得a12+a22=2c2
∴
∴
故选B．
对于曲线C：
①由线C不可能表示椭圆；
②若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；
③当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜
其中正确命题的个数为______个．
正确答案
1
解析
解：①由
②若曲线C表示双曲线，则（4-k）（k-1）＜0，即1＜k＜4，故②不正确；
③当1＜k＜4且k≠
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，此时4-k＞k-1＞0，所以1＜k＜
所以正确命题的个数为1个．
故答案为：1．
椭圆
A4
B
C5
D3
正确答案
解析
解：由题意知椭圆与双曲线共焦点，焦点为F1（0，-4，），F2（0，4），
根据椭圆的定义得：PF1+PF2=10，设P在右支上，
根据双曲线的定义得：PF1-PF2=2
∴PF1=5+
在三角形PF1F2中，又F1F2=8
由余弦定理得：
cos∠F1PF2=
P与双曲线二焦点F1F2连线构成三角形面积为S=
故选D．
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