直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：单选题

单选题

（2014秋•市中区校级月考）若直线y=-x+m与曲线y=只有一个公共点，则m的取值范围是（　　）

A-1≤m＜2

B-≤m≤2

C-2≤m＜2或m=5

D-≤m≤2或m=5

正确答案

解析

解：根据曲线y=，得到5-x2≥0，解得：-2≤x≤2；y≥0，

画出曲线的图象，为椭圆在x轴上边的一部分，如图所示：

当直线y=-x+m在直线l1的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，

把直线y=-x+m代入椭圆方程得：5x2-8mx+4m2-20=0，得到△=0，

即64m2-20（4m2-20）=0，化简得：m2=25，解得m=5或m=-5（舍去），

则m=5时，直线与曲线只有一个公共点；

当直线y=-x+m在直线l2位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时m=2，

当直线y=-x+m在直线l3位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时m=-2，

则当-2≤m＜2时，直线与曲线只有一个公共点，

综上，满足题意得m的范围是-2≤m＜2或m=5．

故选D

题型：简答题

简答题

已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2-=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．

（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；

（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S-S的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），

则直线AP的方程为y=k（x+1），

代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2-4=0，

解得x=-1或x=，故x2=．

同理可得x1=．

所以x1•x2=1．

（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），

则=（-1-x1，y1），=（1-x1，y1）．

因为•≤15，所以（-1-x1）（1-x1）+y12≤15，即x12+y12≤16．

因为点P在双曲线上，所以，所以x12+4x12-4≤16，即x12≤4．

因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤2．

因为S1=|y2|，S2=，

所以S-S==

由（Ⅰ）知，x1•x2=1，即．

设t=，则1＜t≤4，S-S=5-t-．

设f（t）=5-t-，则f′（t）=-1+=，

当1＜t＜2时，f‘（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，

所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．

因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，

所以当t=4，即x1=2时，S-S的最小值为f（4）=0，当t=2，即x1=时，S-S的最大值为f（2）=1．

所以S-S的取值范围为[0，1]．

解析

（Ⅰ）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），

则直线AP的方程为y=k（x+1），

代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2-4=0，

解得x=-1或x=，故x2=．

同理可得x1=．

所以x1•x2=1．

（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），

则=（-1-x1，y1），=（1-x1，y1）．

因为•≤15，所以（-1-x1）（1-x1）+y12≤15，即x12+y12≤16．

因为点P在双曲线上，所以，所以x12+4x12-4≤16，即x12≤4．

因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤2．

因为S1=|y2|，S2=，

所以S-S==

由（Ⅰ）知，x1•x2=1，即．

设t=，则1＜t≤4，S-S=5-t-．

设f（t）=5-t-，则f′（t）=-1+=，

当1＜t＜2时，f‘（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，

所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．

因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，

所以当t=4，即x1=2时，S-S的最小值为f（4）=0，当t=2，即x1=时，S-S的最大值为f（2）=1．

所以S-S的取值范围为[0，1]．

题型：单选题

单选题

已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上一点，且在x轴上方，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为，则△PF1F2的面积为（　　）

正确答案

解析

解：椭圆16x2+25y2=1600化成标准形式为．

∴F1、F2是椭圆的左、右焦点，

∴F1（-6，0），F2（6，0），

设P（x，y）是椭圆上一点，则

消去y，得19x2-225x+650=0，

∴x1=5或x2=．

当x2=时，代入②得与③矛盾，舍去．

由x=5，得y=4．

∴△PF1F2的面积S==24．

故选B．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴长为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．

①若线段AB中点的横坐标为-，求斜率k的值；

②若点M（-，0），求证：为定值．

正确答案

解：（Ⅰ）因为（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，

由=②，2b=③．联立①②③，

解得a2=5，，

所以椭圆方程为=1．

（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，

△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，，

因为AB中点的横坐标为-，所以-=-，解得k=±，

（2）由（1）知，，

所以=（x1+，y1）（，y2）=（）（）+y1y2

=（）（）+k2（x1+1）（x2+1）

=（1+k2）x1x2+（+k2）（x1+x2）++k2

=（1+k2）+（）（-）++k2=；

解析

解：（Ⅰ）因为（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，

由=②，2b=③．联立①②③，

解得a2=5，，

所以椭圆方程为=1．

（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，

△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，，

因为AB中点的横坐标为-，所以-=-，解得k=±，

（2）由（1）知，，

所以=（x1+，y1）（，y2）=（）（）+y1y2

=（）（）+k2（x1+1）（x2+1）

=（1+k2）x1x2+（+k2）（x1+x2）++k2

=（1+k2）+（）（-）++k2=；

题型：单选题

单选题

设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（　　）

正确答案

解析

解：设P（x，y），则Q（-x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a＞0，b＞0，

∴，

由可得a=x，b=3y，

∴x＞0，y＞0

又∵=（-a，b）=（-x，3y），

由=1

∴

故选：D

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

扫码查看完整答案与解析