直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为，准线为l，点P（x0，y0）（y0＞p）为抛物线C上的一点，且△FOP的外接圆圆心到准线的距离为．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若圆F的方程为x2+（y-1）2=1，过点P作圆F的2条切线分别交x轴于点M，N，求△PMN面积的最小值及此事y0的值．

正确答案

解：（I）△FOP的外接圆的圆心在线段OF，FP的中垂线的交点上，且线段OF的中垂线为直线，

则圆心的纵坐标为，故圆心到准线的距离为，解得p=2，即抛物线C的方程为x2=4y．

（II）由题意知过点P的圆x2+（y-1）2=1的切线的斜率存在，设切线方程为y-y0=k（x-x0），即kx-y-kx0+y0=0．

则点F（0，1）到直线的距离．令d=1，则，

整理得．

设两条切线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则，，

且直线PM：y-y0=k1（x-x0），直线PN：y-y0=k2（x-x0），故，．

因此．

所以．

设（t＞2），则，

令t2-3t-6=0，则（舍），或．

当t∈时，f′（t）＜0，f（t）在上单点递减，

当t∈时，f′（t）＞0，f（t）在上单调递增，

因此=

=．

所以△PMN面积的最小值为．

此时．

解析

解：（I）△FOP的外接圆的圆心在线段OF，FP的中垂线的交点上，且线段OF的中垂线为直线，

则圆心的纵坐标为，故圆心到准线的距离为，解得p=2，即抛物线C的方程为x2=4y．

（II）由题意知过点P的圆x2+（y-1）2=1的切线的斜率存在，设切线方程为y-y0=k（x-x0），即kx-y-kx0+y0=0．

则点F（0，1）到直线的距离．令d=1，则，

整理得．

设两条切线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则，，

且直线PM：y-y0=k1（x-x0），直线PN：y-y0=k2（x-x0），故，．

因此．

所以．

设（t＞2），则，

令t2-3t-6=0，则（舍），或．

当t∈时，f′（t）＜0，f（t）在上单点递减，

当t∈时，f′（t）＞0，f（t）在上单调递增，

因此=

=．

所以△PMN面积的最小值为．

此时．

题型：单选题

单选题

过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为（　　）

C12

D16

正确答案

解析

解：由y2=8x得其焦点F（2，0）．

则过抛物线y2=8x的焦点F且倾斜角为135°的直线方程为y=-1×（x-2），即x+y-2=0．

由，得x2-12x+4=0．

设A（x1，y1），（x2，y2）

则x1+x2=12，x1x2=4．

所以|AB|===．

故选D．

题型：填空题

填空题

已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为______．

正确答案

x-2y+1=0

解析

解：由已知得=，由于s+t的最小值是，因此，又m+n=2，所以m=n=1．设以点（m，n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有①．又该两点在双曲线上，则有，，两式相减得②，把①代入②得，即所求直线的斜率是，所求直线的方程是，即x-2y+1=0．

故答案为x-2y+1=0

题型：填空题

填空题

已知抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于两点，其中一点坐标为（1，4），则另一个点的坐标为______．

正确答案

（-，）

解析

解：∵抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于两点，其中一点坐标为（1，4），

∴a=4，k+1=4

∴a=4，k=3

∴抛物线为y=4x2，直线为y=3x+1

联立可得4x2-3x-1=0，∴x=1或x=-

∴y=4或y=，

∴另一个点的坐标为（-，）

故答案为（-，）．

题型：简答题

简答题

直线l：y=kx+1与双曲线c：3x2-y2=1相交于A、B两点．

（1）若以AB为直径的圆过原点，求直线l的方程；

（2）若A、B两点在双曲线的右支上，求直线l的倾斜角的范围．

正确答案

解：（1）直线l：y=kx+1代入双曲线c：3x2-y2=1，消去y得（3-k2）x2-2kx-2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=-，

∵以AB为直径的圆过原点，

∴x1x2+y1y2=0，

∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，

∴（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0，

∴-（1+k2）•+k•+1=0，

∴k=±1，

∴直线l的方程为y=±x+1；

（2）∵A．B在双曲线的右支上，

∴x1+x2=＞0，x1x2=-＞0且3-k2≠0，△＞0

解得-＜k＜-，

∴直线l的倾斜角的范围为（-arctan，）．

解析

解：（1）直线l：y=kx+1代入双曲线c：3x2-y2=1，消去y得（3-k2）x2-2kx-2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=-，

∵以AB为直径的圆过原点，

∴x1x2+y1y2=0，

∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，

∴（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0，

∴-（1+k2）•+k•+1=0，

∴k=±1，

∴直线l的方程为y=±x+1；

（2）∵A．B在双曲线的右支上，

∴x1+x2=＞0，x1x2=-＞0且3-k2≠0，△＞0

解得-＜k＜-，

∴直线l的倾斜角的范围为（-arctan，）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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