直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：

①x2-y2=1；

②y=x2-|x|；

③y=3sinx+4cosx；

④

对应的曲线中存在“自公切线”的有______．

正确答案

②③

解析

解：①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；

②y=x2-|x|=，在 x= 和 x=- 处的切线都是y=-，故②有自公切线．

③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．

④由于，即 x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．

故答案为②③．

题型：简答题

简答题

已知平面直角坐标系xOy上的定点M（2，0）和定直线l：x=，动点P在直线l上的射影为Q，且4．

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）设A、B是轨迹C上两个动点，，λ∈R，∠AOB=θ，请把△AOB的面积S表示为θ的函数，并求此函数的定义域．

正确答案

解：（1）设P（x，y）

∵4．

∴

整理得y2=6x；

（2）由知A、B、M共线，设AB的方程为x=my+2，

与抛物线方程联立消去x得y2-6my-12=0，

y1y2=-12，x1x2==4，=-8．

S==-4tanθ．

因为S=，

所以-4tanθ≥，

即tanθ≤，解得．

解析

解：（1）设P（x，y）

∵4．

∴

整理得y2=6x；

（2）由知A、B、M共线，设AB的方程为x=my+2，

与抛物线方程联立消去x得y2-6my-12=0，

y1y2=-12，x1x2==4，=-8．

S==-4tanθ．

因为S=，

所以-4tanθ≥，

即tanθ≤，解得．

题型：简答题

简答题

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率为．

（ I）求椭圆的标准方程；

（ II）过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P、Q，点N在线段PQ上．设==λ，试求实数λ的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），

因为它的一个顶点为A（0，），所以b2=2，由离心率等于，

得=，解得a2=8，

所以椭圆的标准方程为．

（ II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），

①若直线l与y轴重合，则==λ⇒==λ，解得y0=1，得λ=；

②若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y=kx+2，

与椭圆方程联立消去y，得（1+4k2）x2+16kx+8=0，

根据韦达定理得，x1+x2=-，x1x2=，（*）

由==λ，得，

整理得2x1x2=x0（x1+x2），把上面的（*）式代入得，

又点N在直线y=kx+2上，所以，于是由图象知1＜y1＜，

-1，由1＜y1＜，得＞+1，所以．

综上所述，．

解析

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），

因为它的一个顶点为A（0，），所以b2=2，由离心率等于，

得=，解得a2=8，

所以椭圆的标准方程为．

（ II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），

①若直线l与y轴重合，则==λ⇒==λ，解得y0=1，得λ=；

②若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y=kx+2，

与椭圆方程联立消去y，得（1+4k2）x2+16kx+8=0，

根据韦达定理得，x1+x2=-，x1x2=，（*）

由==λ，得，

整理得2x1x2=x0（x1+x2），把上面的（*）式代入得，

又点N在直线y=kx+2上，所以，于是由图象知1＜y1＜，

-1，由1＜y1＜，得＞+1，所以．

综上所述，．

题型：简答题

简答题

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，率心率，此椭圆与直线交于A、B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点）．

（1）求椭圆方程；

（2）若M是椭圆上任意一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，求∠F1MF2的取值范围．

正确答案

解：（1）设椭圆方程为.．

∵，，a2=2b2．

∴椭圆方程化简为　．

∵椭圆与直线相交，解方程组：，

由①代入②，代简得．

根据韦达定理，设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵OA⊥OB，x1x2+y1y2=0，③

由②得，

把④代入③，得，

∴b2=1

∴所求椭圆为．

（2）在椭圆中，，

∵|MF1|+|MF2|=2a，

∴

其中：a≤|MF2|≤a+c．

当|MF2|=a时，cos∠F1MF2有最小值为0，

此时，∠F1MF2有最大值为，

当|MF2|=a+c时，即M点与椭圆长轴左端点重合，∠F1MF2有最小值为0，故．

解析

解：（1）设椭圆方程为.．

∵，，a2=2b2．

∴椭圆方程化简为　．

∵椭圆与直线相交，解方程组：，

由①代入②，代简得．

根据韦达定理，设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵OA⊥OB，x1x2+y1y2=0，③

由②得，

把④代入③，得，

∴b2=1

∴所求椭圆为．

（2）在椭圆中，，

∵|MF1|+|MF2|=2a，

∴

其中：a≤|MF2|≤a+c．

当|MF2|=a时，cos∠F1MF2有最小值为0，

此时，∠F1MF2有最大值为，

当|MF2|=a+c时，即M点与椭圆长轴左端点重合，∠F1MF2有最小值为0，故．

题型：简答题

简答题

椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B．点P双曲线C2：=1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C1分别交于C、D点．若△ACD与△PCD的面积相等．

（1）求P点的坐标；

（2）能否使直线CD过椭圆C1的右焦点，若能，求出此时双曲线C2的离心率，若不能，请说明理由．

正确答案

解：（1）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．

∵S△ACD=S△PCD，

∴C为AP的中点，∴．

将C点坐标代入椭圆方程，得，

又，

∴x0=2a（x0=-a舍去），

∴，

∴．

（2）∵，

直线PD：代入⇒2x2-3ax+a2=0

∴，

∴

∴CD垂直于x轴．若CD过椭圆C1的右焦点，则，

∴，

∴．故可使CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为．

解析

解：（1）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．

∵S△ACD=S△PCD，

∴C为AP的中点，∴．

将C点坐标代入椭圆方程，得，

又，

∴x0=2a（x0=-a舍去），

∴，

∴．

（2）∵，

直线PD：代入⇒2x2-3ax+a2=0

∴，

∴

∴CD垂直于x轴．若CD过椭圆C1的右焦点，则，

∴，

∴．故可使CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为．

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