直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：单选题

单选题

已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分交于A点，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积为（　　）

正确答案

解析

解：由抛物线的定义可得AF=AK，则

∵AF的斜率等于，∴AF的倾斜角等于60°，∵AK⊥l，

∴∠FAK=60°，故△AKF为等边三角形．

又焦点F（1，0），AF的方程为y-0=（x-1），

设A（m，m-），m＞1，

由AF=AK 得=m+1，

∴m=3，故等边三角形△AKF的边长AK=m+1=4，

∴△AKF的面积是×4×4sin60°=4，

故选：C．

题型：简答题

简答题

如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，-c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．

（1）求证：切线l的斜率为定值；

（2）若△OEF2的面积为1，E为直线与曲线的切点，求抛物线C2的方程；

（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．

正确答案

（1）证明：∵抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，∴．

设切点为M（x0，y0）（x0＞0）．由抛物线x2=2py，可得y′=，∴切线l的斜率k=．

∴切线的方程为：，

联立，化为x2-2x0x+2pc=0，

由于△=0，

∴=0，

把p=2c代入可得x0=2c，

∴切线l的斜率k==1．

∴切线l的斜率为定值1．

（2）由（1）可得=1，

∴x0=p．

∵△OEF2的面积为1，

∴===1，解得p=2．

∴抛物线C1的方程为：x2=4y．

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由（1）可得x0=2c，p=2c，切线方程为y=x-c．

联立，化为（a2+b2）x2-2b2cx-b4=0，

∴，x1x2=．（*）

∵，

∴x2=-λx1．（λ∈[2，4]）．

代入（*）可得，

∴=，

化为=．

∵λ∈[2，4]，

∴e∈．

解析

（1）证明：∵抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，∴．

设切点为M（x0，y0）（x0＞0）．由抛物线x2=2py，可得y′=，∴切线l的斜率k=．

∴切线的方程为：，

联立，化为x2-2x0x+2pc=0，

由于△=0，

∴=0，

把p=2c代入可得x0=2c，

∴切线l的斜率k==1．

∴切线l的斜率为定值1．

（2）由（1）可得=1，

∴x0=p．

∵△OEF2的面积为1，

∴===1，解得p=2．

∴抛物线C1的方程为：x2=4y．

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由（1）可得x0=2c，p=2c，切线方程为y=x-c．

联立，化为（a2+b2）x2-2b2cx-b4=0，

∴，x1x2=．（*）

∵，

∴x2=-λx1．（λ∈[2，4]）．

代入（*）可得，

∴=，

化为=．

∵λ∈[2，4]，

∴e∈．

题型：简答题

简答题

已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，

（1）若|AB|=10，求m的值；

（2）若OA⊥OB，求m的值．

正确答案

解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）

（1）x2+（2m-8）x+m2=0------------------------------（1分）

-----------------------------------------------（3分），----（5分）

∵m＜2，∴---------------------------------------------------------（6分）

（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0------------------------------------（7分）

x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0-----------------------------------------（9分）

2m2+m（8-2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=-8，---------------------------------（11分）

经检验m=-8------------------------------------------------------------（12分）

解析

解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）

（1）x2+（2m-8）x+m2=0------------------------------（1分）

-----------------------------------------------（3分），----（5分）

∵m＜2，∴---------------------------------------------------------（6分）

（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0------------------------------------（7分）

x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0-----------------------------------------（9分）

2m2+m（8-2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=-8，---------------------------------（11分）

经检验m=-8------------------------------------------------------------（12分）

题型：单选题

单选题

抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是（　　）

正确答案

解析

解：由，得3x2-4x+8=0．

△=（-4）2-4×3×8=-80＜0．

所以直线4x+3y-8=0与抛物线y=-x2无交点．

设与直线4x+3y-8=0平行的直线为4x+3y+m=0

联立，得3x2-4x-m=0．

由△=（-4）2-4×3（-m）=16+12m=0，

得m=-．

所以与直线4x+3y-8=0平行且与抛物线y=-x2相切的直线方程为4x+3y-=0．

所以抛物线y=-x2上的一点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是=．

故选：A．

题型：简答题

简答题

已知F1，F2是椭圆C：=1的左右两个焦点，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，若△ABF1的面积．求直线l的方程．

正确答案

解：∵=1，∴F1（-1，0），F2（1，0），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

①当AB⊥x轴时，把x=1代入椭圆方程可得：，解得，

∴|AB|=3，

∴===3，不符合题意，舍去．

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：my=x-1，联立，

化为（4+3m2）y2+6my-9=0，

∴y1+y2=，，

∴|y1-y2|===，

|F1F2|=2

∴===，

化为18m4-m2-17=0，

解得m2=1，∴m=±1．

∴直线l的方程为：±y=x-1．

解析

解：∵=1，∴F1（-1，0），F2（1，0），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

①当AB⊥x轴时，把x=1代入椭圆方程可得：，解得，

∴|AB|=3，

∴===3，不符合题意，舍去．

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：my=x-1，联立，

化为（4+3m2）y2+6my-9=0，

∴y1+y2=，，

∴|y1-y2|===，

|F1F2|=2

∴===，

化为18m4-m2-17=0，

解得m2=1，∴m=±1．

∴直线l的方程为：±y=x-1．

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