热门试卷

解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C（x，y），

根据题意得，…（2分）

化简得x2=4y．

∴曲线C方程为x2=4y．…（4分）

（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+b，

由，消去y得x2-4kx-4b=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

且△=16k2+16b．…（6分）

以点P为切点的切线的斜率为kP=，

其切线方程为y-y1=，

即y=，

同理过点Q的切线的方程为y=，

设两条切线的交点为A（xA，yA）在直线x-y-2=0上，

解得，即A（2k，-b），

则：2k+b-2=0，即b=2-2k，…（8分）

代入△=16k2+16b=16k2+32-32k=16（k-1）2+16＞0，

∴|PQ|==4，

A（2k，-b）到直线PQ的距离为d=，…（10分）

∴S△APQ=|PQ|d=4|k2+b|=4（k2+b）

=4[（k-1）2+1]，

∴当k=1时，S△APQ最小，其最小值为4，

此时点A的坐标为（2，0）．…（12分）

解：（1）设P（x，y），则kPA=，kPB=

∵动点p与定点A（-1，0），B（1，0）的连线的斜率之积为-2，

∴kPA×kPB=-2

∴=-2，即2x2+y2=2

又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1

综上点P的轨迹方程为x2+=1（x≠±1）

（2）将直线l：y=x+1代入曲线C方程x2+=1，整理得3x2+2x-1=0

∴

∴

（1）解法（一）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，

所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等．

由抛物线定义得：点p在以F为焦点直线x+2=0为准线的抛物线上，

抛物线方程为y2=8x．

解法（二）：设动点P（x，y），则

当x≤-4时，（x-2）2+y2=（-x-6）2，化简得：y2=8（x+2），显然x≥-2，但x≤-4，故此时曲线不存在；

当x＞-4时，（x-2）2+y2=（x+2）2，化简得：y2=8x．

（2）设直线L：y=kx+b与抛物线的交点为（x1，y1），（x2，y2）

①若L斜率存在，设斜率为k，则，整理后得ky2-8y+8b=0，且，又，得

由OA⊥OB，得，即，b=-8k

直线为y=k（x-8），所以L过定点（8，0）；

②若L斜率不存在，则OA的斜率为1，，得x=8，即直线L过（8，0）；

综上：直线恒过定点（8，0）．