- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦MN的中点为P，试求
正确答案
解：（Ⅰ）由题意不妨设B1（0，-b），B2（0，b），则
∵
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x-1）．
联立
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
∴弦MN的中点P
∴|MN|=
直线PD的方程为
∴|DP|=
∴
又∵k2+1＞1，∴
∴
∴
解析
解：（Ⅰ）由题意不妨设B1（0，-b），B2（0，b），则
∵
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x-1）．
联立
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
∴弦MN的中点P
∴|MN|=
直线PD的方程为
∴|DP|=
∴
又∵k2+1＞1，∴
∴
∴
一束光线从点（0，1）出发，经过直线x+y-2=0反射后，恰好与椭圆
正确答案
x-2y+3=0或x=1
解析
解：设（0，1）关于x+y-2=0的对称点为（a，b），则
∴a=1，b=2．
当反射光线斜率不存在时，方程为x=1，满足题意；
当反射光线斜率存在时，设方程为y-2=k（x-1），即y=kx-k+2，
代入椭圆方程，整理可得（2+k2）x2+2k（2-k）x+2-4k+k2=0，
∵反射光线与椭圆
∴△=4k2（2-k）2-4（2+k2）（2-4k+k2）=0，
∴k=
∴所求方程为x-2y+3=0．
综上，所求方程为x-2y+3=0或x=1．
故答案为：x-2y+3=0或x=1．
已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知
∴
∴椭圆方程为
（Ⅱ）由
由△＞0得（24m）2-4×36（3m2+4）＞0，解得m2＞4，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴
=
∵m2＞4，∴3m2+4＞16，∴
∴
解析
解：（Ⅰ）由题意知
∴
∴椭圆方程为
（Ⅱ）由
由△＞0得（24m）2-4×36（3m2+4）＞0，解得m2＞4，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴
=
∵m2＞4，∴3m2+4＞16，∴
∴
设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：3x+4y-14=0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．
正确答案
解：设抛物线的方程为x2=-2py，则由
∴△=9p2+8pm=0，∴m=-
∵点M到直线l：3x+4y-14=0的距离的最小值为1，
∴
∴p=8或p=
∴抛物线方程为：x2=-16y
解析
解：设抛物线的方程为x2=-2py，则由
∴△=9p2+8pm=0，∴m=-
∵点M到直线l：3x+4y-14=0的距离的最小值为1，
∴
∴p=8或p=
∴抛物线方程为：x2=-16y
已知抛物线C：y=x2+mx+2与经过A（0，1），B（2，3）两点的线段AB有公共点，则m的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：根据题意：线段AB：y=x+1（0≤x≤2），与y=x2+mx+2联立得：
x2+（m-1）x+1=0，
令f（x）=x2+（m-1）x+1 又f（0）=1＞0，
即函数在[0，2]上有零点，
∴
解得：m≤-1
故选C
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