热门试卷

解：（I）设AB为点P（4，0）的任意一条“相关弦”，且点A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

弦AB的垂直平分线方程为，

由题意它与x轴相交于点P（4，0），

令y=0⇒，

∴，

∴点P（4，0）的“相关弦”的中点的横坐标为2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可设中点为（2，ym），这里

直线AB的斜率，

∴弦AB所在直线的方程是，

代入y2=4x中，整理得（*）

则x1、x2是方程（*）的两个实根，且x1+x2=4，，

设点P（4，0）的“相关弦”AB的弦长为l，则，

∴，

∴，

∴lmax=6．

解：（1）依题意，设椭圆方程为，

则其右焦点坐标为，由|FB|=2，

得，即，故．

又∵b=2，∴a2=12，

从而可得椭圆方程为．--（6分）

（2）由题意可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，

由消去y得x2+3（kx-3）2=12，即可得方程（1+3k2）x2-18kx+15=0…（*）

当方程（*）的△=（-18k）2-4（1+3k2）×15=144k2-60＞0

即时方程（*）有两个不相等的实数根．

设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），

则x1，x2是方程（*）的两个不等的实根，故有．

从而有  ，．

于是，可得线段MN的中点P的坐标为

又由于k≠0，因此直线AP的斜率为，

由AP⊥MN，得，即5+6k2=9，解得，

∴，

∴综上可知存在直线l：满足题意．--------（13分）