- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
（文）（1）已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到直线y=-1的距离相等，求点P的轨迹L的方程；
（2）若正方形ABCD的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜0≤x2＜x3）在（1）中的曲线L上，设BC的斜率为k，l=|BC|，求l关于k的函数解析式l=f（k）；
（3）由（2），求当k=2时正方形ABCD的顶点D的坐标．
正确答案
解：（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x2=4y． （4分）
（2）由（1），可设直线BC的方程为：
易知x2、x3为该方程的两个根，故有x2+x3=4k，得x3=4k-x2，
从而得
类似地，可设直线AB的方程为：
从而得
由|AB|=|BC|，得k2•（2k-x2）=（2+kx2），
解得
（3）由（2）及k=2可得点B、C、A的坐标分别为，
解析
解：（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x2=4y． （4分）
（2）由（1），可设直线BC的方程为：
易知x2、x3为该方程的两个根，故有x2+x3=4k，得x3=4k-x2，
从而得
类似地，可设直线AB的方程为：
从而得
由|AB|=|BC|，得k2•（2k-x2）=（2+kx2），
解得
（3）由（2）及k=2可得点B、C、A的坐标分别为，
已知点P（x，y）满足椭圆方程2x2+y2=1，则
正确答案
2+
解析
解：
∵
设直线y=k（x-1），联立
令△=4k4-4（2+k2）（k2-1）=0，解得
当k=
故答案为
已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次满足kMN2=kOM•kON，求△OMN面积的取值范围．
正确答案
解析：（1）由已知得
（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0）
联立
则△=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=16（4k2-m2+1）＞0，
此时设M（x1，y1），N（x2，y2），∴
于是
又直线OM，MN，ON的斜率满足
∴
由m≠0，得
显然m2≠1，
设原点O到直线l的距离为d，则
故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．
解析
解析：（1）由已知得
（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0）
联立
则△=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=16（4k2-m2+1）＞0，
此时设M（x1，y1），N（x2，y2），∴
于是
又直线OM，MN，ON的斜率满足
∴
由m≠0，得
显然m2≠1，
设原点O到直线l的距离为d，则
故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．
正确答案
解：（1）由题意可得
∴椭圆E的方程为
（2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，-1），设P（x0，y0），则
则直线PA1的方程为
直线PA2的方程为
由切割线定理可得：|OT|2=|OM||ON|=
∴|OT|=2，即线段OT的长为定值2．
解析
解：（1）由题意可得
∴椭圆E的方程为
（2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，-1），设P（x0，y0），则
则直线PA1的方程为
直线PA2的方程为
由切割线定理可得：|OT|2=|OM||ON|=
∴|OT|=2，即线段OT的长为定值2．
已知线段AB是抛物线y2=2x的焦点弦，|AB|=4，则AB中点的横坐标是______．
正确答案
解析
解：设A（x1，y1），B（x2，y2）
根据抛物线的定义可知，|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4
∴x1+x2=3，
∴
故答案为：
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