直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：单选题

单选题

若AB为抛物线y2=2px （p＞0）的动弦，且|AB|=a （a＞2p），则AB的中点M到y轴的最近距离是（　　）

正确答案

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

抛物线准线为x=-，

如图所示：

则所求距离为MN=-=-≥-=，

所以AB的中点M到y轴的最近距离是，此时弦AB过焦点F．

故选D．

题型：填空题

填空题

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF2B的周长为16，过焦点F1且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为2，则椭圆C的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵△AF2B的周长为16，

∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|

=4a=16，

解得，a=4；

∵过焦点F1且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为2，

∴2=2；

解得，b2=a=4；

故b=2；

则c==2；

故椭圆C的离心率为e==；

故答案为：．

题型：简答题

简答题

椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为，直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的A，B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q满足：（O为坐标原点）．求实数λ的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知得，，又a2=b2+c2，联立解得．

故所求椭圆C的方程为．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）

当λ=0时由知，，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，∴λ=0成立．

当λ≠0时，设直线AB的方程为y=kx+m．

联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，

由△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0解得m2＜1+2k2…（*）

∴，．

由，得（x1+x2，y1+y2）=（λx0，λy0），可得x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，

∴，

代入到得到，

代入（*）式，

由1+2k2＞0得λ2＜4，解得-2＜λ＜2且λ≠0．

∴综上λ∈（-2，2）．

解析

解：（Ⅰ）由已知得，，又a2=b2+c2，联立解得．

故所求椭圆C的方程为．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）

当λ=0时由知，，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，∴λ=0成立．

当λ≠0时，设直线AB的方程为y=kx+m．

联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，

由△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0解得m2＜1+2k2…（*）

∴，．

由，得（x1+x2，y1+y2）=（λx0，λy0），可得x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，

∴，

代入到得到，

代入（*）式，

由1+2k2＞0得λ2＜4，解得-2＜λ＜2且λ≠0．

∴综上λ∈（-2，2）．

题型：单选题

单选题

直线l：y=kx-1与双曲线c：2x2-y2=1的左支交于不同的两点，那么k的取值范围是（　　）

A（，2）

B（-，）

C（-2，2）

D（-2，-）

正确答案

解析

解：由，得（2-k2）x2+2kx-2=0．

要使y=kx-1与双曲线c：2x2-y2=1的左支交于不同的两点，

则，即，

解①得，-2＜k＜2．

解②得，或0＜k＜．

解③得，或k＞．

所以-2＜k＜-．

故选D．

题型：填空题

填空题

斜率为2的直线l过双曲线的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围______．

正确答案

解析

解：依题意，斜率为2的直线l过双曲线的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交

结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即＞2，

因此该双曲线的离心率e==＞

故答案为：

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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