直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为

（Ⅰ）求椭圆C的方程

（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c．

则，解得，∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2-2=0，

则△=4m2n2-4（m2+2）（n2-2）=4（2m2+4-2n2）＞0，（*）

，，

∴|AB|=

==．

原点O到直线AB的距离d=，

∵，

∴=，化为．（**）

另一方面，=，

∴xE=myE+n==，即E．

∵，∴．

代入椭圆方程得，

化为n2t2=m2+2，代入（**）得，化为3t4-16t2+16=0，解得．

∵t＞0，∴．经验证满足（*）．

当AB∥x轴时，设A（u，v），B（-u，v），E（0，v），P（0，±1）．（u＞0）．

则，，解得，或．

又，∴，

∴．

综上可得：．

解析

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c．

则，解得，∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2-2=0，

则△=4m2n2-4（m2+2）（n2-2）=4（2m2+4-2n2）＞0，（*）

，，

∴|AB|=

==．

原点O到直线AB的距离d=，

∵，

∴=，化为．（**）

另一方面，=，

∴xE=myE+n==，即E．

∵，∴．

代入椭圆方程得，

化为n2t2=m2+2，代入（**）得，化为3t4-16t2+16=0，解得．

∵t＞0，∴．经验证满足（*）．

当AB∥x轴时，设A（u，v），B（-u，v），E（0，v），P（0，±1）．（u＞0）．

则，，解得，或．

又，∴，

∴．

综上可得：．

题型：填空题

填空题

若直线y=kx+2与曲线恰有两个不同的交点，则k∈______．

正确答案

解析

解：曲线对应的函数图象如图所示．

当直线y=kx+2与半圆相切时，k=满足题意；

当直线y=kx+2过（±1，0）时，k=±2满足题意；

|x|＞1时，y=为双曲线在x轴上方的部分，其渐近线为y=±x．

故当直线y=kx+2与渐近线平行时，k=±1，

∴-1＜k＜1时，直线与双曲线有两个不同的交点，

∴k∈．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知椭圆E：上的顶点为A（0，5），离心率为．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若直线y=-4交椭圆E于点B，C两点（点B在点C的左侧），点D在椭圆上，且满足（m，n为实数），求m+n的最大值以及对应点D的坐标．

正确答案

解：（I）由题意得：在椭圆E中，b=5，且，a2=b2+c2，

∴a2=100，

∴椭圆E的方程为：…（4分）

（II）将y=-4代入椭圆方程中得x2=36，∴x=±6，

∵B点在C点左侧，∴B（-6，-4），C（6，-4）．

∵A（0，5），∴，=（12，0），

设D点（x，y），则

∵，即x+6=6m+12n，y+4=9m，

整理可得m=，n=…（7分）

∴m+n=；

令t=3x+2y，与椭圆方程，消去y整理方程得：满足△≥0，则；…（10分）

∴m+n的最大值为，即时满足…（11分）

而，

∴…（13分）

解析

解：（I）由题意得：在椭圆E中，b=5，且，a2=b2+c2，

∴a2=100，

∴椭圆E的方程为：…（4分）

（II）将y=-4代入椭圆方程中得x2=36，∴x=±6，

∵B点在C点左侧，∴B（-6，-4），C（6，-4）．

∵A（0，5），∴，=（12，0），

设D点（x，y），则

∵，即x+6=6m+12n，y+4=9m，

整理可得m=，n=…（7分）

∴m+n=；

令t=3x+2y，与椭圆方程，消去y整理方程得：满足△≥0，则；…（10分）

∴m+n的最大值为，即时满足…（11分）

而，

∴…（13分）

题型：简答题

简答题

已知抛物线y=x2，过点P（0，2）作直功l，交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．

（Ⅰ）求证：•为定值；

（Ⅱ）求三角形AOB面积的最小值．

正确答案

解：如图所示，

（1）证明：抛物线方程可化为x2=4y，焦点为F（0，1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线l的方程为：y=kx+2；

∴，

化为x2-4kx-8=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=-8；

∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=-8k2+8k2+4=4，

∴•=x1x2+y1y2=-8+4=-4；

（2）由（1）知，x1+x2=4k，x1x2=-8；

∴S△OAB=S△OAP+S△OBP

=|OP|•|x1|+|OP|•|x2|

=|OP|•|x2-x1|

=×2，

∴当k=0时，△OAB面积最小，最小值为4．

解析

解：如图所示，

（1）证明：抛物线方程可化为x2=4y，焦点为F（0，1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线l的方程为：y=kx+2；

∴，

化为x2-4kx-8=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=-8；

∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=-8k2+8k2+4=4，

∴•=x1x2+y1y2=-8+4=-4；

（2）由（1）知，x1+x2=4k，x1x2=-8；

∴S△OAB=S△OAP+S△OBP

=|OP|•|x1|+|OP|•|x2|

=|OP|•|x2-x1|

=×2，

∴当k=0时，△OAB面积最小，最小值为4．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有两个不同的点关于直线l对称．

正确答案

解：设椭圆上关于直线l对称的两点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

AB的中点为M（x0，y0），

则由，两式相减得，

即，

又由直线AB的斜率，以及中点公式，

得，即，又由l⊥AB，得，

∴，即y=3x．…①

∵点M在直线l上，∴y0=4x0+m．…②

联立①、②，得，即M（-m，-3m），

根据点M在椭圆的内部，得，

解得．

解析

解：设椭圆上关于直线l对称的两点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

AB的中点为M（x0，y0），

则由，两式相减得，

即，

又由直线AB的斜率，以及中点公式，

得，即，又由l⊥AB，得，

∴，即y=3x．…①

∵点M在直线l上，∴y0=4x0+m．…②

联立①、②，得，即M（-m，-3m），

根据点M在椭圆的内部，得，

解得．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

扫码查看完整答案与解析