直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

设A，B是椭圆=1上两个不同的点，O为坐标原点．

（1）若直线AB的斜率为-1，且经过椭圆的左焦点，求|AB|；

（2）若直线AB在y轴上的截距为4，且OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的方程．

正确答案

解：（1）由=1，得a2=4，b2=1，

∴c2=a2-b2=3，则c=，

椭圆的左焦点为，

则直线AB的方程为y=-（x+），

联立，得．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴==；

（2）设直线AB的方程为y=kx+4，

联立，得（4k2+1）x2+32kx+60=0．

则．

=2k+4•=2k+4，解得k=-15．

∴lAB：y=-15x+4．

解析

解：（1）由=1，得a2=4，b2=1，

∴c2=a2-b2=3，则c=，

椭圆的左焦点为，

则直线AB的方程为y=-（x+），

联立，得．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴==；

（2）设直线AB的方程为y=kx+4，

联立，得（4k2+1）x2+32kx+60=0．

则．

=2k+4•=2k+4，解得k=-15．

∴lAB：y=-15x+4．

题型：简答题

简答题

设斜率为k1的直线L交椭圆C：于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）．

（1）求k1⋅k2的值．

（2）把上述椭圆C一般化为（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k1与k2关系（不需要证明）．请你给出在双曲线（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．

正确答案

（1）解：设直线方程为y=k1x+b，代入椭圆方程并整理得：

（1+2k12）x2+4k1bx+2b2-2=0，

，

又中点M在直线上，

∴，

从而得弦中点M的坐标为（），

，

∴．

（2）对于椭圆，

已知斜率为k1的直线L交双曲线（a＞0，b＞0）于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）．则k1⋅k2的值为．

（解一）、设直线方程为y=k1x+d，

代入（a＞0，b＞0）方程并整理，

得：（b2-a2k12）x2-2k1a2dx-a2d2-a2b2=0，

，

所以，

即．

（解二）设点A（x1，y2），B（x2y2），中点M（x0，y0）

则，

，

又因为点A，B在双曲线上，

则与，

作差得，

即．

解析

（1）解：设直线方程为y=k1x+b，代入椭圆方程并整理得：

（1+2k12）x2+4k1bx+2b2-2=0，

，

又中点M在直线上，

∴，

从而得弦中点M的坐标为（），

，

∴．

（2）对于椭圆，

已知斜率为k1的直线L交双曲线（a＞0，b＞0）于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）．则k1⋅k2的值为．

（解一）、设直线方程为y=k1x+d，

代入（a＞0，b＞0）方程并整理，

得：（b2-a2k12）x2-2k1a2dx-a2d2-a2b2=0，

，

所以，

即．

（解二）设点A（x1，y2），B（x2y2），中点M（x0，y0）

则，

，

又因为点A，B在双曲线上，

则与，

作差得，

即．

题型：简答题

简答题

已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：+=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过原点O，求实数m的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由离心率e=，得c=．

∵c2=a2-b2，∴b=a．

又因为2ab=2，所以a=，b=1．

∴椭圆的标准方程为=1．

（Ⅱ）联立，消去y得：（1+）x2+2m2x+2m2-2=0．

由＞0，得-．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

由题意，得=0，即x1x2+y1y2=0，

∴x1x2+（+m）（+m）=0，即（1+）x1x2++m2=0，

∴（1+）•+=0．

解之，得m=，满足△＞0，∴m=．

解析

解：（Ⅰ）由离心率e=，得c=．

∵c2=a2-b2，∴b=a．

又因为2ab=2，所以a=，b=1．

∴椭圆的标准方程为=1．

（Ⅱ）联立，消去y得：（1+）x2+2m2x+2m2-2=0．

由＞0，得-．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

由题意，得=0，即x1x2+y1y2=0，

∴x1x2+（+m）（+m）=0，即（1+）x1x2++m2=0，

∴（1+）•+=0．

解之，得m=，满足△＞0，∴m=．

题型：简答题

简答题

已知椭圆方程为+=1（a＞b＞0），长轴两端点为A，B，短轴右端点为C．

（Ⅰ）若椭圆的焦距为4，点M在椭圆上运动，且△ABM的最大面积为3，求该椭圆方程；

（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的椭圆，作以C为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形CDE，设直线CE的斜率为k（k＜0），求k的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知c=2，，

又∵a2=b2+c2，

解得，a=3，b=1

则椭圆方程为：．

（Ⅱ）设CE所在的直线方程为y=kx+1（k＜0）

代入椭圆方程并整理得，

（1+9k2）x2+18kx=0

∴=；

同理，；

由三角形CDE为等腰直角三角形知，

k3+9k2+9k+1=0，

即（k+1）（k2+8k+1）=0

∴k=-1或k=-4±．

解析

解：（Ⅰ）由已知c=2，，

又∵a2=b2+c2，

解得，a=3，b=1

则椭圆方程为：．

（Ⅱ）设CE所在的直线方程为y=kx+1（k＜0）

代入椭圆方程并整理得，

（1+9k2）x2+18kx=0

∴=；

同理，；

由三角形CDE为等腰直角三角形知，

k3+9k2+9k+1=0，

即（k+1）（k2+8k+1）=0

∴k=-1或k=-4±．

题型：简答题

简答题

已知抛物线C：x2=2py（p为正常数）的焦点为F，过F做一直线l交C于P，Q两点，点O为坐标原点．

（1）若△POQ的面积记为S，求的值；

（2）若直线l垂直于y轴，过点Q做关于直线l的对称的两条直线l1，l2分别交抛物线C于M，N两点，证明：直线MN斜率等于抛物线在点Q处的切线斜率．

正确答案

解（1）显然直线l斜率存在，

设代入C：x2=2py得x2-2pkx-p2=0，x1+x2=2pk，x1x2=-p2，（2分）

求得弦长|PQ|=2p（1+k2），原点到直线l距离，（2分）

，所以（2分）

（2）不妨设，，

设代入C：x2=2py

得x2-2pk1x-2p2k1-p2=0，xPxM=-2k1p2-p2，

所以xM=2k1p+p，同理xN=2k2p+p，（2分）k1+k2=0，

，（2分）

抛物线在点Q处的切线斜率，得证（2分）

解析

解（1）显然直线l斜率存在，

设代入C：x2=2py得x2-2pkx-p2=0，x1+x2=2pk，x1x2=-p2，（2分）

求得弦长|PQ|=2p（1+k2），原点到直线l距离，（2分）

，所以（2分）

（2）不妨设，，

设代入C：x2=2py

得x2-2pk1x-2p2k1-p2=0，xPxM=-2k1p2-p2，

所以xM=2k1p+p，同理xN=2k2p+p，（2分）k1+k2=0，

，（2分）

抛物线在点Q处的切线斜率，得证（2分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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