三角恒等变换_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，已知（a2-b2）sin（A+B）=（a2+b2）sin（A-B），判定△ABC的形状．

正确答案

解：∵（a2-b2）sin（A+B）=（a2+b2）sin（A-B），

∴（a2-b2）sinC=（a2+b2）sin（A-B）=（a2+b2）（sinAcosB-cosAsinB），

∴（a2-b2）c=（a2+b2）（acosB-bcosA），

则（a2-b2）c=（a2+b2）（a•），

整理得a2=b2或a2+b2=c2，

故△ABC是等腰三角形或直角三角形．

解析

解：∵（a2-b2）sin（A+B）=（a2+b2）sin（A-B），

∴（a2-b2）sinC=（a2+b2）sin（A-B）=（a2+b2）（sinAcosB-cosAsinB），

∴（a2-b2）c=（a2+b2）（acosB-bcosA），

则（a2-b2）c=（a2+b2）（a•），

整理得a2=b2或a2+b2=c2，

故△ABC是等腰三角形或直角三角形．

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，tanA是以-4为第三项、4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项、9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（　　）

A钝角三角形

B等腰直角三角形

C锐角三角形

D等腰三角形

正确答案

C

解析

解：根据题意得：tanA=2，tanB=3，

∴tanC=-tan（A+B）=-=-=1，

则A，B及C都为锐角，即△ABC为锐角三角形．

故选C

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题型：简答题

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简答题

已知α，β都是锐角，，求tan（α+β）的值．

正确答案

解：利用两角和的正切公式可得 tan（α+β）===．

解析

解：利用两角和的正切公式可得 tan（α+β）===．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，若角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acosB+bcosA=csinC，且△ABC的面积S=（b2+c2-a2），试判断△ABC的形状．

正确答案

解：△ABC中，由acosB+bcosA=csinC利用正弦定理可得sinAcosB+cosAsinB=sinC•sinC，

即sin（A+B）=sinC•sinC，故有sinC=sinC•sinC，∴sinC=1，C=，∴△ABC为直角三角形，a2+b2=c2 ．

再根据△ABC的面积S=（b2+c2-a2）=•2b2=ab，求得a=b，故三角形ABC为等腰三角形．

综上可得，△ABC为等腰直角三角形．

解析

解：△ABC中，由acosB+bcosA=csinC利用正弦定理可得sinAcosB+cosAsinB=sinC•sinC，

即sin（A+B）=sinC•sinC，故有sinC=sinC•sinC，∴sinC=1，C=，∴△ABC为直角三角形，a2+b2=c2 ．

再根据△ABC的面积S=（b2+c2-a2）=•2b2=ab，求得a=b，故三角形ABC为等腰三角形．

综上可得，△ABC为等腰直角三角形．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•唐山校级期末）在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（　　）

A锐角三角形

B直角三角形

C钝角三角形

D非钝角三角形

正确答案

C

解析

解：∵AB=c=5，BC=a=6，AC=b=8，

∴B为最大角，

∴由余弦定理得：cosB===-＜0，

又B为三角形的内角，

∴B为钝角，

则△ABC的形状是钝角三角形．

故选C

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题型：简答题

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简答题

△ABC中A，B为锐角．

（1）试通过计算判断△ABC的形状．

（2）求角A，B的值．

正确答案

解：（1）∵△ABC中，A，B为锐角，

∴sinA+cosA=sinB+cosB，即sin（A+）=sin（B+），又A＜B，

∴A+=π-（B+），∴A+B=，故△ABC为直角三角形．

（2）把两个已知的等式平方相加可得 cos（A-B）=，∴A-B=-，

再由（1），

∴，．

解析

解：（1）∵△ABC中，A，B为锐角，

∴sinA+cosA=sinB+cosB，即sin（A+）=sin（B+），又A＜B，

∴A+=π-（B+），∴A+B=，故△ABC为直角三角形．

（2）把两个已知的等式平方相加可得 cos（A-B）=，∴A-B=-，

再由（1），

∴，．

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题型：填空题

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填空题

计算：=______．

正确答案

解析

解：====，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

△ABC的三个内角分别是A，B，C，若sinC=2cosAsinB，则此△ABC的形状一定是______．

正确答案

等腰三角形

解析

解：因为A+B+C=π，sinC=2cosAsinB，

所以sin（A+B）=2cosAsinB，

即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，

sinAcosB-cosAsinB=0，

所以sin（A-B）=0

因为A，B是三角形内角，所以A-B=0，

即A=B，三角形是等腰三角形．

故答案为：等腰三角形．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，已知=，试判断△ABC的形状．

正确答案

解：由正弦定理可得，a=2RsinA，b=2RsinB，

=，即为

a2sinBcosA=b2sinAcosB，

即有sin2AsinBcosA=sin2BsinAcosB，

即sinAcosA=sinBcosB，

即有sin2A=sin2B，

即2A=2B或2A+2B=180°，

即为A=B或A+B=90°，

则三角形为等腰三角形或直角三角形．

解析

解：由正弦定理可得，a=2RsinA，b=2RsinB，

=，即为

a2sinBcosA=b2sinAcosB，

即有sin2AsinBcosA=sin2BsinAcosB，

即sinAcosA=sinBcosB，

即有sin2A=sin2B，

即2A=2B或2A+2B=180°，

即为A=B或A+B=90°，

则三角形为等腰三角形或直角三角形．

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题型：单选题

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单选题

△ABC中，若lga-lgc=lgsinB=-lg且，则△ABC的形状是（　　）

A等边三角形

B等腰三角形

C等腰直角三角形

D直角三角形

正确答案

C

解析

解：∵lga-lgc=lgsinB=-lg，

∴，．

∵，∴．

∴，

∴sinC=sinA==，

化为cosC=0，

∵C∈（0，π），．

∴A=π-B-C=．

∴△ABC是等腰直角三角形．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC为______（填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．）

正确答案

钝角三角形

解析

解：由正弦定理可得，△ABC的三边之比 a：b：c=5：11：13，设a=5k，则 b=11k，c=13k，

由余弦定理可得 cosC==-＜0，故角C为钝角，故△ABC为钝角三角形，

故答案为：钝角三角形．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，已知sinA=2sinBcosc，则△ABC的形状为______．

正确答案

等腰三角形

解析

解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin（B+C）=2sinBcosC，

所以sinBcosC-sinCcosB=0，即sin（B-C）=0，

因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．

三角形的等腰三角形．

故答案为：等腰三角形．

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，已知c=2acosB，则△ABC为（　　）

A直角三角形

B等边三角形

C等腰三角形

D等腰直角三角形

正确答案

C

解析

解：由正弦定理可得 sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，

∴sin（A-B）=0，又-π＜A-B＜π，∴A-B=0，故△ABC的形状为等腰三角形，

故选C．

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，若，则此三角形必是（　　）

A等腰三角形

B等边三角形或等腰三角形

C等边三角形

D等腰直角三角形

正确答案

B

解析

解：△ABC中，若，则有 3sinB=2sinAsinB，且 B=C，

解得sinA=，∴A= 或．

当A= 时，再由B=C可得△ABC是等边三角形，

当A= 时，再由B=C可得△ABC是等腰三角形，

故选B．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2=+，则△ABC的形状为______．

正确答案

直角三角形

解析

解：△ABC中，cos2=+，

∴=+，

∴cosA=；

又cosA=，

∴=，

∴b2+c2-a2=2b2，

∴c2=a2+b2，

∴C=90°；

△ABC为直角三角形．

故答案为：直角三角形．

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