直线与圆相交的性质
共61题

· 直线与圆相交的性质

直线与圆相交的性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知，圆C：，直线：.

（1）当a为何值时，直线与圆C相切；

（2）当直线与圆C相交于A、B两点，且时，求直线的方程。

正确答案

见解析。

解析

解：将圆C的方程配方得标准方程为，则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.

(1) 若直线与圆C相切，则有.

解得.

(2) 解法一：过圆心C作CD⊥AB，

则根据题意和圆的性质，得

解得.

（解法二：联立方程并消去，得

设此方程的两根分别为、，则用即可求出a.）

∴直线的方程是和.

知识点

直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）。

（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

（2）设曲线与直线相交于、两点，以为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积。

正确答案

（1）

（2）S=

解析

（1）对于：由，得，进而；

对于：由（为参数），得，即.(5分)

（2）由（1）可知为圆，且圆心为，半径为2，则弦心距，弦长，因此以为边的圆的内接矩形面积. (10分)

知识点

直线与圆相交的性质点的极坐标和直角坐标的互化参数方程化成普通方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为　　。

正确答案

（3﹣2，3﹣2]∪[3+2，3+2）

解析

圆的标准方程为（x﹣m）2+（y﹣2）2=32，

则圆心C（m，2），半径r=4，

S△ABC=r2sin∠ACB≤16sin∠ACB，

∴当∠ACB=90时S取最大值16，

此时△ABC为等腰直角三角形，AB==8，

则C到AB距离=，

∴4≤PC＜4，

即4≤＜4，

∴16≤（m﹣3）2+4＜32，

即12≤（m﹣3）2＜28，

∴，

解得3﹣2＜m≤3﹣2或3+2≤m＜3+2，

知识点

直线与圆相交的性质

题型：简答题

简答题 · 10 分

在直角坐标系中，已知点，直线的参数方程是

（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方

程是。

（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出圆心的极坐标

（2）若直线与圆交于两点，求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）∵，

∴ ，∴，

∴圆的直角坐标方程为：，

圆心的直角坐标为，极坐标为；

（2）直线的参数方程可写为：（为参数），

代入圆的直角坐标方程中得：，

设两点所对应的参数分别为，则，

∴。

知识点

直线与圆相交的性质简单曲线的极坐标方程点的极坐标和直角坐标的互化直线的参数方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“”的（）

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

略

知识点

充要条件的判定直线与圆相交的性质

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