- 反证法
- 共255题
已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0．
正确答案
•解：假设a，b，c不全是正数，即其中至少有一个不是正数．
不妨先设a≤0．下面分a=0和a＜0两种情况讨论．
如果a=0，则abc=0，与abc＞0矛盾，所以a=0不可能．
如果a＜0，那么由abc＞0可得
bc＜0．
又因为a+b+c＞0，所以b+c＞-a＞0．
于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0，
这和已知ab+bc+ca＞0相矛盾．
因此，a＜0也不可能．
综上所述，a＞0．
同理可证b＞0，c＞0．
所以原命题成立．
解析
•解：假设a，b，c不全是正数，即其中至少有一个不是正数．
不妨先设a≤0．下面分a=0和a＜0两种情况讨论．
如果a=0，则abc=0，与abc＞0矛盾，所以a=0不可能．
如果a＜0，那么由abc＞0可得
bc＜0．
又因为a+b+c＞0，所以b+c＞-a＞0．
于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0，
这和已知ab+bc+ca＞0相矛盾．
因此，a＜0也不可能．
综上所述，a＞0．
同理可证b＞0，c＞0．
所以原命题成立．
用反证法证明命题“设a，b∈R，|a|+|b|＜1，a2-4b≥0那么x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1”时，应假设（ ）
正确答案
解析
解：由于“都小于1”的反面是“至少有一个大于等于1”，
所以用反证法证明“设a，b∈R，|a|+|b|＜1，a2-4b≥0那么x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1”时，
应先假设方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于等于1．
故选B．
已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
正确答案
解：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点
（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），
由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b得△1=（2b）2-4ac≤0，
△2=（2c）2-4ab≤0，
△3=（2a）2-4bc≤0．
同向不等式求和得，
4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0，
∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0，
∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
解析
解：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点
（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），
由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b得△1=（2b）2-4ac≤0，
△2=（2c）2-4ab≤0，
△3=（2a）2-4bc≤0．
同向不等式求和得，
4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0，
∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0，
∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
用反证法证明命题：“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；
③假设直线AC、BD是共面直线；
则正确的序号顺序为（ ）
正确答案
解析
解：用反证法证明命题：“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程：
假设直线AC、BD是共面直线，
则A，B，C，D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾，
故所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线，
故选B．
用指定方法法证明不等式：
（Ⅰ）分析法；
（Ⅱ）反证法．
正确答案
证明：（Ⅰ）分析法：要证
即证8+2
而
（Ⅱ）反证法：假设证
故有 8+2
故要证的不等式成立．
解析
证明：（Ⅰ）分析法：要证
即证8+2
而
（Ⅱ）反证法：假设证
故有 8+2
故要证的不等式成立．
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