热门试卷

（1）a=；

（2）

（1）∵对任意x1∈[-1，3]，令=2，得x2=2-x1，∴x2∈[-1，3]，即对任意的x1∈[-1，3]，存在唯一的x2=2-x1∈[-1，3]，使得=2，

故正确答案为  是；  2

（2）证明：①对任意x1∈[10，100]，令=，即=，

得x2=．∵x1∈[10，100]，∴x2=∈[10，100]．

即对任意x1∈[10，100]，存在唯一的x2=∈[10，100]，使得=．

∴g（x）=lgx为“和谐函数”，其“和谐数”为．

参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”；

②对任意x1∈（1，3），令=5，即=5，得2x2=10-2x1，x2=log2(10-2x1)．∵x1∈（1，3），∴10-2x1∈(2，8)，x2=log2(10-2x1)∈(1，3)．

即对任意x1∈（1，3），存在唯一的x2=log2(10-2x1)∈(1，3)，使得=5．

∴h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”

（3）函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”，证明如下：

对任意的常数C，①若C≤0，则对于x1=1，显然不存在x2∈R，使得==C成立，

所以C（C≤0）不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数；

②若C＞0，则对于x1=，由==C得，x22=-2C＜0，

即不存在x2∈R，使=C成立．所以C（C＞0）也不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数．

综上所述，函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”．

解：（1）∵f（x）是R上的偶函数

∴f（﹣x）=f（x）即f（﹣x）﹣f（x）=0

∴[log2（4﹣x+1）﹣a（﹣x）]﹣[log2（4x+1）﹣ax]=0

﹣2x+2ax=0

即a=1

（2）若a=4，f（x）=log2（4x+1）﹣4x

令f（x）=0，

log2（4x+1）=4x4x+1=24x（4x）2﹣4x﹣1=0

或（舍）

∴