- 等比数列的性质及应用
- 共160题
在无穷数列中,
,对于任意
,都有
,
,设
,记使得
成立的
的最大值为
。
(1)设数列为
,
,
,
,
,写出
,
,
的值;
(2)若为等比数列,且
,求
的值;
(3)若为等差数列,求所有可能的数列
。
正确答案
见解析
解析
(1)解:,
,
. ……………… 3分
(2)解:因为为等比数列,
,
,
所以, ……………… 4分
因为使得成立的
的最大值为
,
所以,
,
,
,
,
, ……………… 6分
所以. ……………… 8分
(3)解:由题意,得,
结合条件,得
. ……………… 9分
又因为使得成立的
的最大值为
,使得
成立的
的最大值为
,
所以,
. ……………… 10分
设,则
.
假设,即
,
则当时,
;当
时,
.
所以,
.
因为为等差数列,
所以公差,
所以,其中
.
这与矛盾,
所以. ……………… 11分
又因为,
所以,
由为等差数列,得
,其中
. ……………… 12分
因为使得成立的
的最大值为
,
所以,
由,得
. ……………… 13
知识点
已知数列的相邻两项
是关于
的方程
的两根,且
。
(1)求证: 数列是等比数列;
(2)设是数列
的前
项和,求
;
(3)问是否存在常数,使得
对任意
都成立,若存在,求出
的取值范围; 若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵an,an+1是关于x的方程的两实根,
∴
∵。
故数列是首项为
,公比为﹣1的等比数列。
(2)解:由(1)得,即
∴
=。
因此,
要使bn>λSn,对∀n∈N*都成立,
即(*)
①当n为正奇数时,由(*)式得:
即,
∵2n+1﹣1>0,∴对任意正奇数n都成立,
因为为奇数)的最小值为1,所以λ<1。
②当n为正偶数时,由(*)式得:,即
∵2n﹣1>0,∴对任意正偶数n都成立,
∵为偶数)的最小值为
,∴
。
∴存在常数λ,使得bn>λSn对∀n∈N*都成立时λ的取值范围为(﹣∞,1)
知识点
过双曲线的右顶点
作斜率为
的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
,若
三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
略
知识点
若,则“
”是“
”的( )条件
正确答案
解析
故为充分非必要条件,选A。
知识点
定义:若各项为正实数的数列满足
,则称数列
为“算术平方根递推数列”.
已知数列满足
且
点
在二次函数
的图像上.
(1)试判断数列是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
(2)记,求证:数列
是等比数列,并求出通项公式
;
(3)若数列是首项为
,公比为
的无穷等比数列,且数列
各项的和为
,求正整数
的值。
正确答案
(1)数列是算术平方根递推数列(2)
(3)
解析
(1)答:数列是算术平方根递推数列.
理由:在函数
的图像上,
,
.
又,
∴,
∴数列是算术平方根递推数列.
证明(2) ,
.
又,
数列
是首项为
,公比
的等比数列.
.
(3)由题意可知,无穷等比数列的首项
,公比
,
,
化简,得,
若,则
.这是矛盾!
.
又时,
,
.
.
知识点
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