热门试卷

解：（I）f（x）=x3+ax2+bx+2的导数为f′（x）=3x2+2ax+b．

∵f（x）在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，∴f（x）在x=1处的切线斜率为3

∴f′（1）=3，即3+2a+b=3  ①

又∵是函数f（x）的极值点，∴f′（）=0．

即++b=0  ②

由①②可得，a=2，b=-4

∴f（x）的解析式为f（x）=x3+2x2-4x+2

（II）若函数f（x）在区间上单调递增，则f′（x）≥0在区间上恒成立，

由（I）可知，2a+b=0，∴a=b，代入f′（x）=3x2+2ax+b，得f′（x）=3x2-bx+b

∴3x2-bx+b≥0在区间上恒成立．

∴b≤在区间上恒成立

令g（x）=，则g（x）==3（x-1）++6，

当x∈时，3（x-1）++6≥6+6=12，当且仅当x=2时，等号成立

∴当x∈时，g（x）有最小值为12，

∴b≤12

解：（1）∵f‘（x）=3ax2+2bx-3

而f（x）在x=±1处取得极值，

∴

∴

∴

（2）由（1）知f（x）=x3-3x，

f'（x）=3（x+1）（x-1）

列表如下：

∴f（x）的单增区间分别是（-∞，-1），（1，+∞），单减区间是（-1，1）．

解：（I）f′（x）=a2x2-4ax+b，由题意可得f′（0）=b=3．

∴b=3．

（II）由函数f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=a2-4a+3=0，解得a=1或3．

①当a=1时，f′（x）=x2-4x+3=（x-1）（x-3）．列表如下：

由表格可知：函数f（x）在x=1处取得极大值，满足题意．

②同理可得：当a=3时，函数f（x）在x=1处取得极小值，不符合题意，应舍去．

综上所述：当a=1时，函数f（x）在x=1处取得极大值．